ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー７７（平方和が中項面積、かこむ矩形が有理面積、平方で非通約の２線分の差は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺）
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
もし
線分から
その線分全体と
平方において通約できない線分が
ひかれ、
全体とひかれた線分との上の
二つの正方形の和を
中項面積とし、
それらによって
かこまれる矩形の２倍を
有理面積とする
ならば、
残りは
無理線分である。
そして
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
とよばれる。
線分ＡＢから
線分ＢＣが
ひかれ、
ＢＣは
ＡＢと平方において
通約できず
与えられた条件を
みたすとせよ。
-
命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
により、
２線分をとり、
大きい方をＡＢ、
小さい方をＢＣ
とし、
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
により、
Ｃ’（ＡＢ；ＢＣ’＝ＢＣ）
をとり、
改めて、
Ｃ’をＣ
とする
-
ＡＢ¬∩^2 ＢＣ、
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
ＡＢ＞ＢＣ
となっている。
残りのＡＣは
上述の無理線分である
と主張する。
ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
中項面積であり、
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
有理面積である
-
命題の設定による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積、
２矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
となっている。
から、
ＡＢ、ＢＣ上の正方形の和は
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍と
通約できない。
-
前節、
命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
による。
-
正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
となっている。
したがって
残りのＡＣ上の正方形も
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍と
通約できない。
-
前節、
命題２ー７（差の平方）
命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
による。
-
正方(_ＡＣ)¬∩２矩形(ＡＢ、ＢＣ)
となっている。
そして
矩形ＡＢ、ＢＣの２倍は
有理面積である。
-
命題の設定による。
-
２矩形(ＡＢ、ＢＣ)；有理面積
となっている。
したがって
ＡＣ上の正方形は
無理面積である。
-
前節、前々節、
定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
による。
-
正方(_ＡＣ)；無理面積
となっている。
よって
ＡＣは
無理線分である。
-
前節、
定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
による。
-
ＡＣ；無理線分
となっている。
そして
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
とよぱれる。
-
前節、
定義の補足（命題１０ー７７）(中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
による。
-
ＡＣ；中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
となっている。
これが証明すぺきことであった。
- 命題１０ー７７は、
命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
により、
２線分を
とり、
大きい方を
ＡＢ、
小さい方を
ＢＣ
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
により、
ＡＣからＢＣを引くと、
残りのＡＣは
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺とよばれる
無理線分
のことである。
- 命題１０ー７７は推論用命題である。
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