ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー77(平方和が中項面積、かこむ矩形が有理面積、平方で非通約の2線分の差は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
もし
   線分から
   その線分全体と
 平方において通約できない線分
  ひかれ、
   全体とひかれた線分との上の
   二つの正方形の和を
  中項面積とし、
   それらによって
   かこまれる矩形の2
  有理面積とする
ならば、
 残りは
  無理線分である。
そして
   中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
  とよばれる。



   線分ABから
 線分BCが
  ひかれ、
 BCは
   ABと平方において
  通約できず
   与えられた条件を
  みたすとせよ。

 残りのACは
  上述の無理線分である
と主張する。

 AB、BC上の正方形の和は
  中項面積であり、
 矩形AB、BCの2
  有理面積である

から、
 AB、BC上の正方形の和は
   矩形AB、BCの2
  通約できない。

したがって
 残りのAC上の正方形
   矩形AB、BCの2
  通約できない。

そして
 矩形AB、BCの2
  有理面積である。

したがって
 AC上の正方形
  無理面積である。

よって
 ACは
  無理線分である。

そして
   中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
  とよぱれる。

これが証明すぺきことであった。
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