ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
　平方において通約できないで，
　それらの上の正方形の和を
　　中項面積とし，
　それらによってかこまれる矩形を
　　有理面積とする
　２線分を見いだす
こと。

• 平方において通約は、
  定義１０ー２ による。
• 正方形は、
  定義１ー２２ による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３） による。
• 矩形は、
  定義１ー２２ による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４ による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１） による。

　平方においてのみ通約できる
　二つの中項線分ＡＢ，ＢＣが定められ，
　それらによってかこまれる矩形を
　有理面積とし，
　ＡＢ上の正方形が
　ＢＣ上の正方形より
　ＡＢと通約できない線分上の正方形だけ大きい
とせよ。

• 命題１０ー３１の補足 (作図,平方のみ通約、矩形が有理面積、上の正方形の差が大きい方と非通約な線分上の正方形となる中項線分) による。
• ＡＢ，ＢＣ；中項線分、
  　ＡＢ∩^^2 ＢＣ,
  　矩形(ＡＢ,ＢＣ);有理面積
  　　ｚ；¬∩ＡＢ、
  　　sq(_ＡＢ)
  　　＝sq(_ＢＣ)＋sq(_Ｚ)
  としている。
  

　そして
　ＡＢ上に半円ＡＤＢが描かれ，

• 　命題１０ー１４補助の補足(作図.線分上に半円)
  による。
• 半円ＡＤＢ(中点Ｙ.ＡＢ,ＹＡ)
  としている。
  

　ＢＣがＥにおいて２等分され，
　　　　[......(１)]

• 命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
  
• 中点Ｅ.ＢＣ
  としている。
  

　ＡＢ上に
　　ＢＥ上の正方形に等しく，
　　正方形だけ欠けている
　　平行四辺形ＡＦ［、ＦＢ］がつくられた
とせよ。
[......(２)]

• 命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 点Ｆ.ＡＢ(;矩形(ＡＦ,ＦＢ)=正方(_ＢＥ))
  としている。

そうすれば
　ＡＦはＦＢと
　長さにおいて通約できない。

• 命題の設定、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約） による。
  
• 　ＡＦ¬∩ＦＢ
  となっている。

　ＦからＡＢに直角にＦＤがひかれ，

• 　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）、
  　命題の補足３（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
  により
  　交点Ｄ’(半円ＡＤＢ,垂線(Ｆ,ＡＢ))
  をとり、
  　溯ってＤとしている。
  
• 　Ｆ⊥ＡＢ となっている。

　ＡＤ，ＤＢが結ばれたとせよ。

• 　公準１ー１の補足２（作図.任意の線分
  による。

　ＡＦは
　　ＦＢと通約できない

• 前々節による。
• 　ＡＦ¬∩ＦＢ
  となっている。

から，
　矩形ＢＡ，ＡＦは
　　矩形ＡＢ，ＢＦと通約できない。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　矩形(ＢＡ,ＡＦ)：矩形(ＡＢ,ＢＦ)＝ＡＦ：ＢＦ
  となり、
  　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　矩形(ＢＡ,ＡＦ)¬∩矩形(ＡＢ,ＢＦ)
  となっている。
  

ところが
　矩形ＡＢ，ＡＦは
　　ＡＤ上の正方形に等しく，
　矩形ＡＢ，ＢＦは
　　ＤＢ上の正方形に等しい。

• 　命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  により、
  　∠ＡＤＢ＝∠Ｒ　　　　　 [......(a)]
  となり、
  命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　矩形(ＡＢ,ＡＦ)＝正方(_ＡＤ)、
  　矩形(ＡＢ,ＢＦ)＝正方(_ＤＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＤ上の正方形も
　　ＤＢ上の正方形と通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)¬∩正方(_ＤＢ)
  となっている。
  

そして
　ＡＢ上の正方形は
　　中項面積である

• 　命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３） (中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)；中項面積
  となっている。

から，
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和も
　　中項面積である。

• 　(a)、
  　命題１−４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＢＣは
　　ＤＦの２倍である

• 　（２）
  により、
  　矩形(ＡＤ,ＤＢ)＝正方(_ＢＥ)、
  　命題６ー８の系（直角三角形の垂線は比例中項）
  により、
  　矩形(ＡＦ,ＦＢ)＝正方(_ＦＤ)
  となっており、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　正方(_ＦＤ)＝正方(_ＢＥ)、
  　命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  により、
  　ＦＤ＝ＢＥ、
  　（１）
  による。
  
• 　命題１０−３３（作図.２線分；平方で非通約、上の正方形の和は有理面積、矩形は中項面積）においては、
  　この一節の前に、
  　「矩形ＡＥ、ＥＢ《も》［は、また］ＢＤ上の正方形に等しいと仮定されるから、」
  　という一文が入っている。
  
• 　ＢＣ＝２ＤＦ
  となっている。

から，
　矩形ＡＢ，ＢＣも
　　矩形ＡＢ，ＦＤの２倍である。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　矩形(ＡＢ,ＢＣ)＝２矩形(ＡＢ,ＦＤ)
  となっている。

ところが
　矩形ＡＢ，ＢＣは
　　有理面積である。

• 　命題の設定
  による。
  
• 　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；有理面積
  となっている。

したがって
　矩形ＡＢ，ＦＤも
　　有理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  による。
• 　矩形(ＡＢ,ＦＤ)；有理面積
  となっている。

そして
　矩形ＡＢ，ＦＤは
　　矩形ＡＤ，ＤＢに等しい。

• 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  　による。
  
• 矩形(ＡＢ,ＦＤ)＝矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＤ，ＤＢも
　　有理面積である。

• 　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  による。
  
• 　矩形(ＡＤ,ＤＢ)；有理面積
  となっている。

よって
　平方において通約できないで，
　　それらの上の正方形の和を中項面積とし，
　　それらによってかこまれる矩形を有理面積とする
　　２線分ＡＤ，ＤＢが
見いだされた。

• 　ＡＤ¬∩^^2 ＤＢ、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積、
  　矩形(ＡＤ,ＤＢ)；有理面積
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー３４は、
  　命題１０ー３１の補足 により、
  　ＡＢ、ＢＣ；中項線分、
  　中点Ｅ(ＢＣ)、
  　命題６ー２８ により、
  　点Ｆ.ＡＢ(;矩形(ＡＦ,ＦＢ)=正方(_ＢＥ))、
  　交点Ｄ(垂線(Ｆ,ＡＢ),半円(ＡＢ))、
  　線分ＡＤ、ＤＢ
  をとれば、
  　ＡＤ¬∩^^2 ＤＢ、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積、
  　矩形(ＡＤ,ＤＢ)；有理面積
  のことである。
• 命題１０ー３４は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補2(題10-23)
  公準	1-1補2
  公理		1-1
  命題	補3(義1-14), 1-10, 1-11, 6-28, 10-14a補, 10-31補	1-47, 1-48補, 3-31, 6-1, 6-8系, 10-11, 10-13, 10-18, 10-33a
  その他

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