ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９４（有理線分と第４の余線分の矩形に等しい正方形の辺は劣線分）
もし
　面積が
　　有理線分と
　　第４の余線分によって
　　　かこまれる
ならば，
　　その面積に
　　　等しい
　正方形の辺は
　　劣線分
　　　である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第４の余線分は、
  定義１０�Vー４による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 劣線分は、
  定義の補足（命題１０ー７６）による。

　面積ＡＢが
　　有理線分ＡＣと
　　第４の余線分ＡＤによって
　　　かこまれる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー８８（作図.第４の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第４の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  となっている。

　面積ＡＢに等しい正方形の辺は
　　劣線分
　　　である
と主張する。

　　ＤＧを
　　ＡＤへの付加
　　　とせよ。

• 　命題１０ー８８（作図.第４の余線分）
  による。
• 　ＡＤ；第４の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ，ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　ＡＧは
　　定められた有理線分ＡＣと
　　長さにおいて通約
　　　でき，
　ＡＧ全体の上の正方形は
　　　付加された
　　線分ＤＧ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー４（第４の余線分）
  による。
• 　ＡＧ、ＧＤ；有理線分、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＤ、
  　ＡＧ∩指定有理線分ＡＣ
  　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　ＡＧ¬∩Ｘ
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＤ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい
から，

• 　前節による。

もし
　　ＤＧ上の正方形の４分の１に
　　　等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられる
ならば，
　　それを通約
　　　できない
　　二つの部分に
　　　分けるであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約） による。
  

そこで
　ＤＧが
　　Ｅで２等分
　　　されたとし，
　　ＥＧだけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられたとし，
　　それを
　　矩形ＡＦ,ＦＧ
とせよ。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節による。
• 　ＡＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

そこで
　　Ｅ、Ｆ，Ｇを
　　　通り
　　ＡＣ,ＢＤに平行に
　ＥＨ,ＦＩ,ＧＫが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　　[......(７)]

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  となっている。

そうすれば
　ＡＧは
　　有理線分
　　　であり
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できる

• 　（１）による。
• 　ＡＧ；有理線分、∩ＡＣ
  となっている。

から，
　ＡＫ全体は
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(９)]

• 　前節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　矩形ＡＫ；有理面積
  となっている。

また
　ＤＧは
　　ＡＣと長さにおいて通約
　　　できず，
　両方とも
　　有理線分
　　　である

• 　（１）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＤＧ；有理線分、¬∩ＡＣ；有理線分
  となっている。

から，
　ＤＫ
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(１１)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　ＤＫ；中項面積
  となっている。

また
　ＡＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない

• 　（２）
  による。
• 　ＡＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

から，
　ＡＩも
　　ＦＫと通約
　　　できない。
　　　　　　[......(６)]

• 　前節、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)¬∩矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  となっている。

そこで
　　ＡＩに
　　　等しい
　正方形ＬＭが
　　　つくられた
とし，
　　ＦＫに
　　　等しく，
　　同一の角，
　　すなわち
　　角ＬＰＭを
　　　はさむ
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとる。
• 　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  となっている。

そうすれば
　正方形ＬＭ,ＮＯは
　　同じ対角線を
　　　はさんでいる。
　　ＰＲをそれらの対角線
とし，
　作図が
　　　なされた
とせよ。
　　　　　　[......(８)]

• 　前節、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  による。
• 　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  となっている。

そうすれば
　矩形ＡＦ,ＦＧは
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しい

• 　（３）
  による。
• 　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となっている。

から，
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＥＧが
　　ＦＧに
　　　対する。

• 　前節、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＦが
　　ＥＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＥＫに
　　　対し，

• 　（７）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)：矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  となっている。

　ＥＧが
　　ＦＧに対するように，
　ＥＫが
　　ＦＫに
　　　対する。

• 　（７）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＥＧ：ＦＧ＝矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)：矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　ＡＩ,ＦＫの比例中項
　　　である。

• 　前節、前々節、前々々節、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　矩形ＥＫ＝比例中項(矩形ＡＩ、矩形ＦＫ)
  となっている。

ところが
　ＭＮも
　　正方形ＬＭ，ＮＯの比例中項
　　　であり，

• 　（８）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　ＭＮ＝比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となっている。

　ＡＩは
　　ＬＭに，
　ＦＫは
　　ＮＯに
　　　等しい。

• 　（４）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
• 　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  となっている。

したがって
　ＥＫも
　　ＭＮに
　　　等しい。

• 　前節、前々節、前々々節
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  による。
• 　矩形ＭＮ＝矩形ＥＫ
  となっている。

ところが
　ＤＨは
　　ＥＫに
　　　等しく，
　ＬＯは
　　ＭＮに
　　　等しい。
　　　　　　[......(１０)]

• 　（３） （４）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　矩形ＤＨ＝矩形ＥＫ、
  　矩形ＬＯ＝矩形ＭＮ
  となっている。

ゆえに
　［ＤＫ］全体は
　　グノーモーンＵＶＷと
　　ＮＯの和に
　　　等しい。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  （３）
  　定義２ー２（グノーモーン）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　矩形ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となっている。

そこで
　ＡＫ全体は
　　正方形ＬＭ,ＮＯの和に
　　　等しく，
そのうち
　ＤＫは
　　グノーモーンＵＶＷと
　　正方形ＮＯの和に
　　　等しい

• 　前節、 （４）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　矩形ＡＫ＝正方ＬＭ＋正方ＮＯ、
  　矩形ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となっている。

から，
　残りのＡＢは
　　ＳＴに，
　　すなわち
　　ＬＮ上の正方形に
　　　等しい。
　　　　　　[......(１３)]

• 　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　矩形ＡＢ＝正方ＳＴ(_ＬＮ)
  となっている。

したがって
　ＬＮは
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　前節による。
• 　ＬＮ＝辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  となっている。

　ＬＮは
　　劣線分と
　　　よばれる
　　無理線分
　　　である
と主張する。
　ＡＫは
　　有理面積
　　　であり
　　ＬＰ，ＰＮ上の正方形の和に
　　　等しい

• 　（４） （９）による。
• 　矩形ＡＫ；有理面積、＝正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)
  となっている。

から，
　ＬＰ,ＰＮ上の正方形の和は
　　有理面積
　　　である。

• 　前節
  による。
• 　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；有理面積
  となっている。

また
　ＤＫは
　　中項面積
　　　であり，
　ＤＫは
　　矩形ＬＰ,ＰＮの２倍
　　　に等しい

• 　（５） （１０） （１１）
  による。
• 　ＤＫ；中項面積、＝２矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  となっている。

から，
　矩形ＬＰ,ＰＮの２倍は
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(１２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＩは
　　ＦＫと通約
　　　できない
ことが証明された

• 　（６）
  による。
• 　矩形ＡＩ¬∩矩形ＦＫ
  となっている。

から，
　ＬＰ上の正方形も
　　ＰＮ上の正方形と通約
　　　できない。

• 　前節、 （４）
  による。
• 　正方(_ＬＰ)¬∩正方(_ＰＮ)
  となっている。

したがって
　ＬＰ,ＰＮは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を
　　有理面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍を
　　　中項面積
とする。

• 　前節、 （９） （１２）
  による。
• 　ＬＰ¬∩^2 ＰＮ
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；有理面積
  　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となっている。　

したがって
　ＬＮは
　　劣線分と
　　　よばれる
　　無理線分
　　　である。
　　そして
　　面積ＡＢに等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節、 （１３）
  　定義の補足（命題１０ー７６）(劣線分)
  による。
• 　ＬＮ；劣線分、辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  となっている。

よって
　　面積ΑΒに
　　　等しい
　正方形の辺は
　　劣線分
　　　である。

• 　前節
  による。
• 　辺.正方(；＝矩形ＡＢ)；劣線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９４は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー８８（作図.第４の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第４の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  をとり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  により、
  　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  をとり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとり、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  により、
  　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  をとると、
  　ＬＰ¬∩^2 ＰＮ
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；有理面積
  　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となり、
  　ＬＮは劣線分
  のことである。
• 命題１０ー９４は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		2-2,補3(題6-8),補2(題10-23),補2(題10-76),10�V-4
  公準
  公理		1-2,1-3
  命題	1-10,1-31,1-43補2,2-1補,6-17補,6-28,補2(義10-3),10-88	1-43,6-1,6-14,6-17補2,10-13,10-18,10-19,10-21,10-22助,10-23系
  その他

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