ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８７（作図.第３の余線分）
(素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)
　　第３の余線分を
　　　見いだす
こと。

• 第３の余線分は、
  　定義１０�Vー３による。

　有理線分Ａが
　　　定められ，
　　互いに
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない
　三つの数Ｅ, ＢＣ, ＣＤが
　　　定められ，
　ＣＢが
　　ＢＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もつ
とし，

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　有理線分Ａをとり、
  　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  により、
  　ＣＢ、ＢＤ；平方数
  　　ＣＢ＞ＢＤ
  　　ＣＤ≠平方数
  をとり、
  さらに、
  　　Ｅとして
  　　ＣＢ、ＣＤを合成しない素因数を１つもつ数
  　　　とればよい。
  　これは、
  　　以下による。
  すなわち、
  　　Ｘを
  　　　合成しない
  　　素数Ｙを
  　１つ含む合成数Ｗは、
  　　Ｘと、
  　　平方数：平方数の比を
  　　　もたない
  (以下、命題１０ー８７の補足 (素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)という。) 本質的には、
  　命題１０ー５０の補足(約数でない素数とは平方数の比でない)
  と同等である。
  
  もし、
  　Ｘ：Ｗ＝平方数：平方数
  ならば、
  　命題９ー１０の補足（平(立)方数の比に同じなら相似な平面(立体)数）
  により、
  　Ｘ、Ｗ；相似な平面数
  となり、
  　　Ｘ＝Ｘa・Ｘb
  　　Ｗ＝Ｗa・Ｗb
  　Ｘa：Ｘb＝Ｗa：Ｗb
  となる。
  　　Ｙを素因数
  　　　とする
  　　Ｗの一辺をＷa
  　　　とする。
  　命題８ー１８の補足（構成.相似な平面数の比例中項数）
  により、
  　ＸaＷb、ＸbＷaは
  　　ともにＸ、Ｗの比例中項で、
  　命題６ー８の系（直角三角形の垂線は比例中項）
  により
  　　　同一である
  はずだが、
  　ＸaＷbは
  　　素因数ｙ
  　　　をもち、
  　ＸbＷaは
  　　素因数ｙ
  　　　をもたない
  ので、
  　命題７ー３２の補足 (素因数分解の一意性)
  により、
  　ＸaＷb≠ＸbＷa
  となり、
  　　　矛盾する
  ので、
  背理法により、
  　Ｘ：Ｗ≠平方数：平方数
  となる。
  
• 　Ａ；有理線分、
  　ＣＢ、ＢＤ；平方数、
  　　ＣＢ＞ＢＤ、
  　　ＣＤ≠平方数、
  　Ｅ：ＣＢ、ＣＤを合成しない素因数を１つもつ数、
  　　Ｅ：ＣＢ≠平方数：平方数
  　　Ｅ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対し，
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対するようにされた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分） による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

そうすれば
　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対する
から，
　Ａ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_Ａ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。

ところが
　Ａ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　正方(_Ａ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形も
　　有理面積
　　　である。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＦＧは
　　有理線分
　　　である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＧ：有理線分
  となっている。

そして
　Ｅは
　　ＢＣに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ：ＢＣ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　Ａ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、 （１）
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ａは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ａ¬∩ＦＧ
  となっている。

また
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　命題の設定による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)∩正方(_ＧＨ)
  となっている。

ところが
　ＦＧ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　（２）による。　
• 　正方(_ＦＧ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＧＨの正方形も
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＧＨ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＧＨは
　　有理線分
　　　である。
[......(４)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＨ；有理線分
  となっている。

そして
　ＢＣは
　　ＣＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない

• 　命題の設定による。
• 　ＢＣ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧは
　　ＧＨと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ¬∩ＧＨ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分
　　　である。

• 　（３） （４）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ：有理線分
  となっている。

それゆえ
　ＦＧ、ＧＨは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である。

• 　前節、前々節
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＦＧ、ＧＨ：有理線分、
  　　ＦＧ∩^^2 ＧＨ
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　　余線分
　　　である。
　　　　　　　[......(８)]

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  による。
• 　ＦＨ；余線分
  となっている。

次に
　第３の余線分でも
　　　あると
主張する。

　Ｅが
　　ＢＣに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＦＧ上の正方形に
　　　対し，
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　（１）による。
• 　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＣ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　　等間隔比により
　Ｅが
　　ＣＤに対するように，
　Ａ上の正方形が
　　ＨＧ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー２２（等間隔比と同じ比）
  による。
• 　Ｅ：ＣＤ＝正方(_Ａ)：正方(_ＨＧ)、
  となっている。

ところが
　Ｅは
　　ＣＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ：ＣＤ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　Ａ上の正方形は
　　ＧＨの正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_Ａ)：正方(_ＧＨ)≠平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　Ａは
　　ＧＨと長さにおいて通約
　　　できない。
　　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　Ａ¬∩ＧＨ
  となっている。

したがって
　ＦＧ，ＧＨのいずれも
　　定められた有理線分Ａと
　　長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、 （５）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ；¬∩Ａ
  となっている。

そして
　　Ｋ上の正方形を
　　ＦＧ上の正方形とＧＨ上の正方形との差と
　　　せよ。
　　　　　　[......(６)]

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による。
• 　正方(_Ｋ)＝正方(_ＦＧ)ー正方(_ＧＨ)
  となっている。

そうすれば
　ＢＣが
　　ＣＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　ＧＨ上の正方形に
　　　対する

• 　（１）による。
• 　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  となっている。

から，
　　反転比により
　ＢＣが
　　ＢＤに対するように，
　ＦＧ上の正方形が
　　Ｋ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による。
• 　ＢＣ：ＢＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)
  となっている。

ところが
　ＢＣは
　　ＢＤに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もつ。

• 　命題の設定による。
• 　ＢＣ：ＢＤ＝平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　Ｋ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もつ。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_Ｋ)＝平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　ＦＧは
　　Ｋと長さにおいて通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ∩Ｋ
  となっている。

そして
　ＦＧ上の正方形は
　　ＧＨ上の正方形より
　　ＦＧと通約
　　　できる
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、 （６）による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＧＨ)＋正方(_Ｋ)、
  　Ｋ∩ＦＧ
  となっている。

そして
　ＦＧ,ＧＨのいずれも
　　定められた有理線分Ａと
　　長さにおいて通約
　　　できない。

• 　（５） （７）による。
• 　ＦＧ、ＧＨ：¬∩有理線分Ａ
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　　第３の余線分
　　　である。

• 　前節、 （８）、
  　定義１０�Vー３（第３の余線分）
  による。
• 　ＦＨ；第３の余線分
  となっている。

よって
　第３の余線分ＦＨが
　　　見いだされた。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー８７は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　有理線分Ａをとり、
  　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  により、
  　ＣＢ、ＢＤ；平方数
  　　ＣＢ＞ＢＤ
  　　ＣＤ≠平方数
  をとり、
  さらに、
  　　Ｅとして
  　　ＢＤを合成しない素因数を１つ含む数
  をとり、
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　Ｅ：ＢＣ＝正方(_Ａ)：正方(_ＦＧ)、
  　ＢＣ：ＣＤ＝正方(_ＦＧ)：正方(_ＧＨ)
  　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  により、
  　Ｋ；正方(_Ｋ)＝正方(_ＦＧ)ー正方(_ＧＨ)
  をとれば、
  　Ｋ∩ＦＧ、
  　ＦＧ、ＧＨ：有理線分、¬∩有理線分Ａ
  　ＦＨ；第３の余線分
  のことである。
  
• 命題１０ー８７の補足 (素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-18補	6-8系,7-32補,9-10補
  その他		背理法

• 命題１０ー８７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(題10-73),10�V-3
  公準
  公理
  命題	補2(義10-3),10-6系,10-6系2,10-14a,10-29a補	5-11,5-19系2,5-22,10-5,10-6,10-9,1087補
  その他

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