ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー53(作図.第6の二項線分)
 第6の二項線分を見いだすこと。



 二つのAC、CBが定められ、
 ABが
  それらの双方に対し、
  平方数平方数に対する比をもたない
とせよ。

そして
 平方数でない他のDがあり、
  BA、ACのおのおのに対し、
  平方数平方数に対するをもたない
とされ、
      [......(2)]

 ある有理線分Eが定められ、
      [......(1)]

  DがABに対するように
  E上の正方形がFG上の正方形に対する
ようにされたとせよ。
     [......(5)]


そうすれば
 E上の正方形
  FG上の正方形通約できる。
      [......(6)]

そして
 Eは有理線分である。

したがって
 FGも有理線分である。
      [......(1)]

そして
 DはABに対し、
  平方数平方数に対するをもたない

から、
 E上の正方形
  FG上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

したがって
 Eは
  FGと長さにおいて通約できない。

また
 BAがACに対するように
 FG上の正方形
  GH上の正方形に対する
ようにされたとせよ。
      [......(3)]

そうすれば
 FG上の正方形
  HG上の正方形通約できる。
      [......(4)]

それゆえ
 HG上の正方形
  有理面積である。

ゆえに
 HGは有理線分である。

そして
 BAはACに対し、
  平方数平方数に対するをもたない

から、
 FG上の正方形
  GH上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

したがって
 FGは
  GHと長さにおいて通約できない。

それゆえ
 FG、GHは
  平方においてのみ通約できる有理線分である。
      [......(9)]

ゆえに
 FHは二項線分である。

次に
 第6の二項線分であることも証明しなければならない。
 DがABに対するように
 E上の正方形
  FG上の正方形に対し、

 BAがACに対するように
 FG上の正方形
  GH上の正方形に対する

から、
 等間隔比により
 DがACに対するように
  E上の正方形がGH上の正方形に対する。

ところが
 Dは
  ACに対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

したがって
 E上の正方形
  GH上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

ゆえに
 Eは
  GHと長さにおいて通約できない。

ところが
 FGとも通約できない
ことが先に証明された。

したがって
 FG、GHの双方は
  Eと長さにおいて通約できない。
      [......(10)]

そして
 BAがACに対するように
 FG上の正方形
  GH上の正方形に対する
       [......(7)]

から、
 FG上の正方形
  GH上の正方形より大きい。

そこで
 GH、K上の正方形の和が
  FG上の正方形等し
とせよ。
        [......(8)]

そうすれば
 反転比により
 ABがBCに対するように
 FG上の正方形
  K上の正方形に対する。

ところが
 ABは
  BCに対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

したがって
 FG上の正方形
  K上の正方形に対し、
  平方数平方数に対するをもたない。

それゆえ
 FGは
  Kと長さにおいて通約できない。

ゆえに
 FG上の正方形
  GH上の正方形より
  FGと通約できない線分上の正方形だけ大きい。

そして
 FG、GHは
  平方においてのみ通約できる有理線分であり、
 それらのいずれも
  定められた有理線分Eと
  長さにおいて通約できない。

よって
 FHは第6の二項線分である。

これが証明すべきことであった。
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