ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４１（平方で非通約、平方和が中項面積、かこむ矩形が中項面積で平方和と非通約の２線分の和は中項面積の和に等しい正方形の辺（無理線分））
中項面積の和に等しい正方形の辺
もし
　平方において通約できず，
　　それらの上の正方形の和が中項面積で，
　　それらによってかこまれる矩形が中項面積で
　　　かつ
　　　それらの上の正方形の和と通約できない
　　ような２線分が加えられる
ならば，
　この線分全体は無理線分であり，
　そして
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺とよぱれる。

• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 中項面積の和に等しい正方形の辺は、
  　平方において通約できず，
  　　それらの上の正方形の和が中項面積で，
  　　それらによってかこまれる矩形が中項面積で
  　　　かつ
  　　　それらの上の正方形の和と通約できない
  　　ような２線分の和（無理線分）をいう。
  (以下、定義の補足（命題１０ー４１） (中項面積の和に等しい正方形の辺)という。)
  

　平方において通約できないで，
　　与えられた条件を満たす
　　２線分ＡＢ，ＢＣ
が加えられたとせよ。
　ＡＣは無理線分である
と主張する。

• 　命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）
  による。
  
• 　線分ＡＢ、ＢＣ；
  　　ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ、
  　　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積、
  　　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積、
  　　　¬∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。

　有理線分ＤＥが定められ，
　　　　　　[......(５)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３） (作図.任意の有理線分)
  による。
• 　ＤＥ；有理線分
  となっている。

　ＤＥ上に
　　ＡＢ，ＢＣ上の正方形に等しく，
　　ＤＦがつくられ，
　　　　　　[......(１)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　線分ＤＧ'(;矩形ＤＧ'Ｆ'Ｅ(ＤＥ,ＤＧ')＝正方(_ＡＢ))、
  　線分Ｇ'Ｇ(;矩形Ｇ'ＧＦＦ'(ＤＥ,Ｇ'Ｇ)＝正方(_ＢＣ))
  をとる。
• 　矩形(ＤＦ)＝正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  となっている。

　ＧＨが矩形ＡＢ，ＢＣの２倍に等しい
とせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　線分ＧＫ'(;矩形ＧＫ'Ｈ'Ｆ(ＤＥ,ＧＫ')＝矩形(ＡＢ,ＢＣ))、
  　線分Ｋ'Ｋ(;矩形Ｋ'ＫＨＨ'(ＤＥ,Ｋ'Ｋ)＝矩形(ＡＢ,ＢＣ))
  をとる。
• 　矩形(ＧＨ)＝２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

そうすれば
　ＤＨ全体はＡＣ上の正方形に等しい。
　　　　　　[......(６)]

• 　前節、前々節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）　
  による。
  
• 　矩形(ＤＨ)＝正方(_ＡＣ)
  となっている。

そして
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形［の和］は中項面積であり
　　ＤＦに等しい

• 　命題の設定、 （１）
  による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積
  　　＝矩形(ＤＦ)
  となっている。

から，
　ＤＦも中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＤＦ)；中項面積
  となっている。

そして
　有理線分ＤＥ上につくられている，

• 　（１）
  による。
• 　矩形(ＤＦ)＝矩形(ＤＥ,ＤＧ)
  となっている。

したがって
　ＤＧは
　　有理線分であり
　　ＤＥと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  　による。
• 　ＤＧ；有理線分、¬∩有理線分ＤＥ
  となっている。

同じ理由で
　ＧＫも
　　有理線分であり，
　　ＧＦすなわちＤＥと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題の設定、 （２）、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  により、
  　矩形(ＧＫ)＝２矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
  となり、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約） による。
  
• 　ＧＫ；有理線分、¬∩ＤＥ
  となっている。

そして
　ＡＢ，ＢＣ上の正方形は
　　矩形ＡＢ，ＢＣの２倍と通約できない

• 　命題の設定、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)¬∩２矩形(ＡＢ,ＢＣ)
  となっている。

から，
　ＤＦは
　　ＧＨと通約できない。

• 　前節、 （１） （２）
  による。
• 　矩形(ＤＦ)¬∩矩形(ＧＨ)
  となっている。

したがって
　ＤＧも
　　ＧＫと通約できない。

• 　前節、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　ＤＧ¬∩ＧＫ
  となっている。

そして
　有理線分である。

• 　（３）、 （４）
  による。
• 　ＤＧ、ＧＫ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＤＧ，ＧＫは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＤＧ∩^^2 ＧＫ
  となっている。

したがって
　ＤＫは二項線分とよばれる無理線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＤＫ；二項線分
  となっている。

ところが
　ＤＥは有理線分である。

• 　（５）による。
• 　ＤＥ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＤＨは無理面積であり，

• 　背理法の仮定として、
  　矩形(ＤＨ)；有理面積
  とすれば、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約） により、
  　ＤＫ；有理線分
  となり、
  　前々節と矛盾する。
  
• 　矩形(ＤＨ)；無理面積
  となっている。

　それに等しい正方形の辺は無理線分である，

• 　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）
  による。
  

ところが
　ＡＣは
　　ＨＤに等しい正方形の辺である。

• 　（６）による。
• 　正方(_ＡＣ)＝矩形(ＨＤ)
  となっている。

よって
　ＡＣは無理線分であり，

• 　前節、前々節による。
• 　ＡＣ；無理線分
  となっている。

　そして
　二つの中項面積の和に等しい正方形の辺と呼ばれる。

• 命題１０ー４１は、
  　命題１０ー３５
  により、
  　線分ＡＢ、ＢＣ；
  　　ＡＢ¬∩^^2 ＢＣ、
  　　正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)；中項面積、
  　　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積、
  　　　¬∩正方(_ＡＢ)＋正方(_ＢＣ)
  をとれば、
  　線分ＡＣ；中項面積の和に等しい正方形の辺（無理線分）
  のことである。
  
• 命題１０ー４１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4,補(題10-36)
  公準
  公理
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-35	2-4,6-1,10-20,10-22,10-23系
  その他

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