ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー78(平方和が中項面積、かこむ矩形が中項面積、平方で非通約の2線分の差は2中項面積の差に等しい正方形の辺)
二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
もし
   線分から
 その線分全体と平方において通約できない線分
  ひかれ、
   全体とひかれた線分との上の
   二つの正方形の和を
  中項面積とし、
   それらによってかこまれる矩形の2
  中項面積とし、
さらに
   それらの上の正方形の和を
   それらによってかこまれる矩形の2
  通約できないようにする
ならば、
 残りは
  無理線分である。
そして
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺とよばれる。



   線分ABから
 線分BCが
  ひかれ、
 BCは
   ABと平方において通約
  できず
   与えられた条件を
  満たす
とせよ。

 残りのACは
   中項面積と中項面積の差に等しい正方形の辺
  とよぱれる無理線分である。

 有理線分DIが
  定められ、
   AB、BC上の正方形の和
  に等しく、
   DIにDGをとする
 DEが
  つくられた
とし、
 矩形AB、BCの2等しいDHが
  ひかれた
とせよ。
      [......(1)]

そうすれば
 残りのFEは
   AC上の正方形
  に等しい。

ゆえに
 ACは
   FEに等し正方形
  である。
      [......(4)]

そして
 AB、BC上の正方形の和は
  中項面積であり
  DEに等し
から、
 DEは
  中項面積である。

そして
   有理線分DI上に
   DGをとして
  つくられている。

したがって
 DGは
  有理線分であり
   DIと長さにおいて通約
  できない。
      [......(2)]

また
 矩形AB、BCの2
  中項面積であり
  DHに等し
から、
 DHは
  中項面積である。

そして
   有理線分DI上に
   DFをとして
  つくられている。

したがって
 DFも
  有理線分であり
   DIと長さにおいて通約
  できない。
      [......(3)]

そして
 AB、BC上の正方形の和は
   矩形AB、BCの2通約
  できない

から、
 DEも
   DHと通約
  できない。

ところが
 DEが
   DHに
  対するように
 DGが
   DFに
  対する。

したがって
 DGは
   DFと通約
  できない。

そして
 両方とも
  有理線分である。

それゆえ
 GD、DFは
   平方においてのみ通約できる
  有理線分である。

したがって
 FGは
  余線分である。

ところが
 FHは
  有理線分である。

そして
 有理線分余線分によってかこまれる矩形
  無理面積であり、
 それに等し正方形
  無理線分である。

そして
 ACは
  FEに等し正方形である。

よって
 ACは
  無理線分である。

そして
  二つの中項面積の差に等しい正方形の辺とよぱれる。

これが証明すべきことであった。
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