ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー３５（作図.２線分;平方で非通約，平方和が中項面積，矩形は中項面積で平方和と非通約）

　平方において通約できないで，
　それらの上の正方形の和が中項面積で，
　それらによってかこまれる矩形も
　　中項面積で
　　かつ
　　それらの上の正方形の和と通約できない
　　　２線分
を見いだすこと。

• 平方において通約は、
  定義１０ー２による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　平方においてのみ通約でき，
　　中項面積をかこむ二つの
　　中項線分ＡＢ，ＢＣ
が定められ，
　ＡＢ上の正方形がＢＣ上の正方形より
　　ＡＢと通約できない線分上の正方形だけ大きいとし，

• 　命題１０ー３２の系 (作図,平方のみ通約、矩形が中項面積、上の正方形の差が大きい方と非通約な線分上の正方形となる中項線分)
  による。
  
• 　ＡＢ、ＢＣ；
  　　中項線分(;ＡＢ∩^^2 ＢＣ,矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積,
  　　　ＡＢ¬∩線分Ｘ(;正方(_Ｘ)
  　　　　　　　　　　　＝正方(_ＡＢ)−正方(_ＢＣ)))
  となっている。

　ＡＢ上に半円ＡＤＢが描かれ，

• 　命題１０ー１４補助の補足(作図.線分上に半円)
  による。
  
• 　半円ＡＤＢ(ＡＢ)
  となっている。

　残りの作図は前と同様になされたとせよ。

• 「ＢＣがＥにおいて２等分され，
  　　ＡＢ上に
  　　ＢＥ上の正方形に等しく，
  　　正方形だけ欠けている
  　　平行四辺形ＡＦ［、ＦＢ］がつくられ、
  　ＦからＡＢに直角にＦＤがひかれ，
  　ＡＤ，ＤＢが結ばれた
  とせよ。」
  　　　　　　[......(１)]
  ということである。
  
• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））、
  　公準１ー１の補足２（作図.任意の線分） による。
• 　中点Ｅ.ＢＣ、
  　点Ｆ.ＡＢ(;矩形(ＡＦ,ＦＢ)=正方(_ＢＥ))
  としている。

　ＡＦはＦＢと長さにおいて通約できない

• 　命題の設定、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。
  
• 　ＡＦ¬∩ＦＢ
  となっている。

から，
　ＡＤもＤＢと平方において通約できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  により、
  　∠ＡＤＢ＝∠Ｒ　　
  　　　　　　[......(a)]
  となり、 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  により、
  　正方(_ＡＤ)：正方(_ＤＢ)
  　　＝矩形(ＡＢ,ＡＦ)：矩形(ＡＢ,ＦＢ)、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により
  　矩形(ＡＢ,ＡＦ)：矩形(ＡＢ,ＦＢ)、
  　　＝ＡＦ：ＦＢ、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  により、
  　正方(_ＡＤ)：正方(_ＤＢ)
  　　＝ＡＦ：ＦＢ、
  命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＤ)¬∩正方(_ＤＢ)
  となっている。

そして
　ＡＢ上の正方形は中項面積である

• 　命題の設定による。
• 　正方(_ＡＢ)；中項面積
  となっている。

から，
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和も中項面積である。
　　　　　　[......(４)]

• 　（ａ）、 　命題１−４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積
  となっている。

そして
　矩形ＡＦ，ＦＢは
　　ＢＥ，ＤＦの双方の上の正方形に等しい

• 　（１）、
  　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　正方(_ＢＥ)＝矩形(ＡＦ,ＦＢ)
  　　＝正方(_ＤＦ)
  となっている。

から，
　ＢＥはＤＦに等しい。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  による。
• 　ＢＥ＝ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＢＣはＦＤの２倍である。

• 　前節、 　（１）による。
• 　ＢＣ＝２ＦＤ
  となっている。

したがって
　矩形ＡＢ，ＢＣも
　　矩形ＡＢ，ＦＤの２倍である。

• 　　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　矩形(ＡＢ,ＢＣ)＝２矩形(ＡＢ,ＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ，ＢＣは中項面積である。

• 　命題の設定による。
• 　矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
  となっている。

したがって
　矩形ＡＢ，ＦＤも中項面積である。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＡＢ,ＦＤ)；中項面積
  となっている。

そして
　矩形ＡＤ，ＤＢに等しい。

• 　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形）
  による。
  
• 　矩形(ＡＢ,ＦＤ)＝矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

したがって
　矩形ＡＤ，ＤＢも中項面積である。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　矩形(ＡＤ,ＤＢ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＢは
　　ＢＣと長さにおいて通約できず，

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ¬∩ＢＣ
  となっている。

　ＣＢは
　　ＢＥと通約できる

• 　（１）による。
• 　ＣＢ∩ＢＥ
  となっている。

から，
　ＡＢも
　　ＢＥと長さにおいて通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　ＡＢ¬∩ＢＥ
  となっている。

したがって
　ＡＢ上の正方形も
　　矩形ＡＢ，ＢＥと通約できない。

• 　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　正方(_ＡＢ)：矩形(ＡＢ,ＢＥ)＝ＡＢ：ＢＥ
  となり、
  　前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。 　
• 　正方(_ＡＢ)¬∩矩形(ＡＢ,ＢＥ)

ところが
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和は
　　ＡＢ上の正方形に等しく，

• 　命題１−４７（三平方の定理）
  による。
  
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＝正方(_ＡＢ)
  となっている。

　矩形ＡＢ，ＦＤ，
　すなわち
　矩形ＡＤ，ＤＢは
　　矩形ＡＢ，ＢＥに等しい。

• 　（２）により、
  　矩形(ＡＢ,ＦＤ)＝矩形(ＡＢ,ＢＥ)
  となり、
  　命題１０ー３３補助（直角三角形の垂線の足による矩形と辺上の正方形） により、
  　矩形(ＡＢ,ＦＤ)＝矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となり、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　矩形(ＡＢ,ＢＥ)＝矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

したがって
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和は
　　矩形ＡＤ，ＤＢと通約できない。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)¬∩矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  となっている。

よって
　平方において通約できないで，
　それらの上の正方形の和が中項面積で，
　それらによってかこまれる矩形が
　　中項面積で
　　かつ
　　それらの上の正方形の和と通約できない
　　　２線分ＡＤ，ＤＢ
が見いだされた。

• 　（３）（４）（５）、
  　前節、
  による。

　これが証明すぺきことであった。

• 命題１０ー３５は、
  　命題１０ー３２の系により、
  　中項線分ＡＢ、ＢＣ(
  　　;ＡＢ∩^^2 ＢＣ
  　　　,矩形(ＡＢ,ＢＣ)；中項面積
  　　　,ＡＢ¬∩辺.正方(_;＝正方(_ＡＢ)−正方(_ＢＣ)))
  　中点Ｅ.ＢＣ、
  　命題６ー２８により、
  　点Ｆ.ＡＢ(;矩形(ＡＦ,ＦＢ)=正方(_ＢＥ))
  　交点Ｄ(垂線(Ｆ,ＡＢ),半円(ＡＢ))、
  　線分ＡＤ、ＤＢ
  をとれば、
  　ＡＤ¬∩^^2 ＤＢ、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；中項面積、
  　矩形(ＡＤ,ＤＢ)；中項面積
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)¬∩矩形(ＡＤ,ＤＢ)
  のことである。
  
• 命題１０ー３５は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義
  公準	1-1補2
  公理		1-1
  命題	1-10,6-28,10-14,10-32系	1-47,1-48補,3-31,5-11,6-1,10-11,10-13,10-18,10-23系,10-33助
  その他

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