ユークリッド原論をどう読むか（１４）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２７（作図.２中項線分;矩形が有理面積、平方でのみ通約）

　有理面積をかこみ、
　平方においてのみ通約できる
　２つの中項線分を見いだすこと。

• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• かこみは、
  定義２ー１による。
• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。

　平方においてのみ通約できる
　２つの有理線分Ａ、Ｂが定められ、
　Ａ、Ｂの比例中項Ｃがとられ、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対するようになっているとせよ。

• 　作図は以下の通り。
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  により、
  　Ａをとる。
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　Ａと平方において通約できるＢをとる。
  　命題６ー１３（作図.２線分の比例中項）
  により、
  　ＡとＢの比例中項Ｃをとる。
  　命題６ー１２（作図.比例第４項）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となるＤをとる。
  
• 　Ａ、Ｂ；有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ、
  　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

そうすれば
　Ａ、Ｂは
　平方においてのみ通約できる有理線分である

• 　命題の設定による。
• 　Ａ、Ｂ；有理線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ、
  となっている。

から、
　矩形Ａ、Ｂ、
　すなわち
　Ｃ上の正方形は中項面積である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　rec(Ａ、Ｂ)＝sq(_Ｃ)；中項面積 となっている。

したがって
　Ｃは中項線分である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前項、
  　定義の補足（命題１０ー２１）（中項線分）
  による。
• 　Ｃ；中項線分
  となっている。

そして
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対し、
　Ａ、Ｂは平方においてのみ通約できる

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  　Ａ∩^^2Ｂ
  となっている。

から、
　Ｃ、Ｄも平方においてのみ通約できる。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　Ｃ∩^^2Ｄ
  となっている。

そして
　Ｃは中項線分である。

• 　（１）による。
• 　Ｃ；中項線分
  となっている。

したがって
　Ｄも中項線分である。

• 　前々節、前節、
  　命題１０ー２３(中項線分と平方で通約なら中項線分)
  による。
  
• 　Ｄ；中項線分
  となっている。

ゆえに
　Ｃ、Ｄは
　平方においてのみ通約できる中項線分である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節
  （２）による。
  
• 　Ｃ、Ｄ；中項線分
  　Ｃ∩^^2Ｂ
  となっている。

また
　Ｃ、Ｄは有理面積をかこむ
と主張する。

　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。

から、
　いれかえて
　ＡがＣに対するように、
　ＢがＤに対する。

• 　前節、
  　命題５ー７の系(比例すれば逆も比例)
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｂ：Ｄ
  となっている。

ところが
　ＡがＣに対するように、
　ＣがＢに対する。

• 　命題の設定により、
  　比例中項である
  から。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｂ
  となっている。

したがって
　ＣがＢに対するように、
　ＢがＤに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｃ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  となっている。

ゆえに
　矩形Ｃ、ＤはＢ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）
  による。
  
• 　rec(Ｃ、Ｄ)＝sq(_Ｂ)
  となっている。

そして
　Ｂ上の正方形は有理面積である。

• 　命題の設定、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　sq(_Ｂ)；有理面積
  となっている。

したがって
　矩形Ｃ、Ｄも有理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　rec(Ｃ、Ｄ)；有理面積
  となっている。

よって
　有理面積をかこみ、
　平方においてのみ通約できる
　中項線分が見いだされた。

• 　前節、 （３） による。

　これが証明すべきことであった。
　

• 命題１０ー２７は、
  　有理線分Ａに対し、
  　命題１０ー６の系３ により、
  　有理線分Ｂ；Ａ∩^^2Ｂ をとり、
  　命題６ー１３ により
  　比例中項Ｃ(Ａ,Ｂ);中項線分 をとり
  　命題６ー１２ により、
  　線分Ｄ(;Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ)；中項線分 をとれば、
  　rec(Ｃ、Ｄ)＝sq(_Ｂ)：有理面積
  　Ｃ∩^^2 Ｄ
  のことである。
  
• 命題１０ー２７は作図用命題である。

  前提	作図・作図	推論
  定義		10-4補,補(題10-21)
  公準
  公理
  命題	6-12,6-13,補2(義10-3),10-6系3	5-7系,5-11,6-17,10-11,10-23
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭