ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー９６（有理線分と第６の余線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積の差に等しい正方形の辺）
もし
　面積が
　　有理線分と
　　第６の余線分によって
　　　かこまれる
ならば，
　　その面積に
　　　等しい
　正方形の辺は
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 面積は、
  定義１０ー２の補足２による。
• 有理線分は、
  定義１０ー３の補足による。
• 第６の余線分は、
  定義１０�Vー６による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 等しいは、
  公理１ー７による。
• 正方形は、
  定義１ー２２による。
• 辺は、
  定義１ー１９の補足による。
• 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺は、
  定義の補足(命題１０ー７８)による。

　面積ＡＢが
　　有理線分と
　　第６の余線分ＡＤによって
　　　かこまれる
とせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー９０（作図.第６の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  による。
  
• 　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第５の余線分、
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  となっている。

　　面積ＡＢに
　　　等しい
　正方形の辺は
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である
と主張する。

　　ＤＧを
　　ＡＤへの付加
　　　とせよ。

• 　命題１０ー９０（作図.第６の余線分） による。
• 　ＡＤ；第５の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  となっている。

そうすれば
　ＡＧ、ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　であり，
　それらのいずれも
　　　定められた
　　有理線分ＡＣと
　　長さにおいて通約
　　　できない。
　ＡＧ全体の上の正方形は
　　　付加された
　　線分ＤＧ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０�Vー６（第６の余線分）
  による。
• 　ＡＧ、ＧＤ；有理線分、
  　ＡＧ∩^^2 ＧＤ、
  　ＡＧ、ＤＧ¬∩指定有理線分ＡＣ
  　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　　ＡＧ¬∩Ｘ
  となっている。

そこで
　ＡＧ上の正方形は
　　ＧＤ上の正方形より
　　ＡＧと長さにおいて通約
　　　できない
　　線分上の正方形だけ
　　　大きい

• 　前節による。
• 　正方(_ＡＧ)＝正方(_ＧＤ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬∩ＡＧ
  となっている。

から、
もし
　　ＤＧ上の正方形の４分の１
　　　に等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　ＡＧ上に
　　　つくられる
ならば，
　　それを通約
　　　できない
　　二つの部分に
　　　分けるであろう。

• 　前節、
  　命題１０ー１８（上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割（コ）の辺は非通約）
  による。

そこで
　ＤＧが
　　Ｅで２等分
　　　されたとし，
　　ＥＧ上の正方形に
　　　等しくて
　　正方形だけ
　　　欠けている
　矩形が
　　　つくられた
とし，
それを
　　矩形ＡＦ，ＦＧ
　　　とせよ。
　　　　　　[......(９)]

• 　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  による。
• 　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  となっている。

そうすれば
　ＡＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、前々節による。
• 　前命題と同様に、
  　この後に、
  　次が挿入されるべきである。
  　「　Ｅ、Ｆ，Ｇを
  　　　　通り
  　　ＡＣ,ＢＤに平行に
  　ＥＨ,ＦＩ,ＧＫが
  　　　ひかれた
  とせよ。」
  　　　　　　[......(８)]
  
  • 　命題１ー３１（作図・平行線） による。
  • 　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
    となっている。
• 　ＡＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＡＦが
　　ＦＧに対するように，
　ＡＩが
　　ＦＫに
　　　対する。

• 　（８）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＦ：ＦＧ＝ＡＩ：ＦＫ
  となっている。

したがって
　ＡＩは
　　ＦＫと通約
　　　できない。
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＩ¬∩ＦＫ
  となっている。

そして
　ＡＧ、ＡＣは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
　　　である

• 　（１）
  による。
• 　ＡＧ∩^^2 ＡＣ、 　ＡＧ、ＡＣ；有理線分
  となっている。

から，
　ＡＫは
　　中項面積である。
[......(２)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＡＫ；中項面積
  となっている。

また
　ＡＣ，ＤＧは
　　有理線分
　　　であり
　　長さにおいて通約
　　　できない

• 　（１）
  による。
• 　ＡＣ、ＤＧ；有理線分、 　ＡＣ¬∩ＤＧ
  となっている。

から，
　ＤＫも
　　中項面積
　　　である。
[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　矩形ＤＫ；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＧ,ＧＤは
　　平方においてのみ通約
　　　できる

• 　（１）
  による。
• 　ＡＧ∩^^2 ＧＤ
  となっている。

から，
　ＡＧは
　　ＧＤと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節
  による。
• 　ＡＧ¬∩ＧＤ
  となっている。

ところが　コメント内
　ＡＧが
　　ＧＤに対するように，
　ＡＫが
　　ＫＤに
　　　対する。

• 　（８）
  による。
• 　ＡＧ：ＧＤ＝ＡＫ：ＫＤ
  となっている。

したがって
　ＡＫは
　　ＫＤと通約
　　　できない。
[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＫ¬∩ＫＤ
  となっている。

そこで
　　ＡＩに
　　　等しい
　正方形ＬＭが
　　　つくられた
とし，
　　ＦＫに
　　　等しく，
　　同一の角を
　　　はさむ
　ＮＯが
　　　ひかれた
とせよ。
　　　　　　[......(６)]

• 　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとる。
  
• 　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  となっている。

そうすれば
　正方形ＬＭ,ＮＯは
　　同じ対角線を
　　　はさんでいる。
　　ＰＲを
　　それらの対角線
　　　とし，
　作図が
　　　なされた
とせよ。
　　　　　　[......(７)]

• 　前節、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  による。
• 　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  となっている。

そうすれば
　　前と同様にして
　ＬＮが
　　面積ＡＢに等しい正方形の辺
　　　である
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(１５)]

• 　前命題と同様にという意味である。
  以下にその概略を示す。
  　（９）により、
  　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となり、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  により、
  　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となる。
  ところが、
  　（８）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)：矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  となり、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  により、
  　矩形ＥＫ＝比例中項(矩形ＡＩ、矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ))
  となり、
  　（７）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  により、
  　ＭＮ＝比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となる。
  さらに、
  　（６）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  による。
  　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  また、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  により、
  　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  をとると、
  　矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ)
  となり、
  　命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  により、
  　ＡＦ：ＥＧ＝ＥＧ：ＦＧ
  となり、
  　（８）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　ＡＦ：ＥＧ＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)：矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)
  となり、
  また、
  　ＥＧ：ＦＧ＝矩形ＥＫ(ＡＣ、ＥＧ)：矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)
  となり、
  したがって、
  　定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  により、
  　矩形ＥＫ＝比例中項(矩形ＡＩ、矩形ＦＫ)
  となる。
  ところが、
  　（７）
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例） により、
  　ＭＮ＝比例中項(正方ＬＭ、正方ＮＯ)
  となり、
  　（６）、
  　命題１０ー２２助（２線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例）
  により、
  　矩形ＡＩ＝正方ＬＭ、
  　矩形ＦＫ＝正方ＮＯ
  となり、
  　命題６ー１７の補足２(等しいものの比例中項は等しい)
  により、
  　矩形ＭＮ＝矩形ＥＫ
  となる。
  そこで、
  　（６） （７）
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  　命題１−４３（平行四辺形の補形）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　矩形ＤＨ＝矩形ＥＫ、
  　矩形ＬＯ＝矩形ＭＮ
  したがって、
  　矩形ＤＫ＝２矩形（ＬＰ、ＰＮ）
  となり、
  　　　　　　[......(１０)]
  　（６）
  　定義２ー２（グノーモーン）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　矩形ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となり、
  　（７）
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　矩形ＡＫ＝正方ＬＭ＋正方ＮＯ、
  　矩形ＤＫ＝グＵＶＷ＋正方ＮＯ
  となり、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により
  　矩形ＡＢ＝正方ＳＴ(_ＬＮ)
  となる。
  
• 　ＬＮ＝辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  となっている。

　ＬＮは
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である
と主張する。

　ＡＫは
　　中項面積
　　　である
ことが証明され、
　　ＬＰ,ＰＮ上の正方形の和に
　　　等しい
　　　　　　[......(１１)]

• 　（２） （６）
  による。
• 　ＡＫ；中項面積、
  　　＝正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)
  となっている。

から，
　ＬＰ,ＰＮ上の正方形の和は
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(１２)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；中項面積
  となっている。

また
　ＤＫが
　　中項面積
　　　である
ことが証明され，
　　矩形ＬＰ, ＰＮの２倍に
　　　等しい

• 　（３） （１０） による。
• 　ＤＫ；中項面積
  　　＝２矩形(ＬＰ、ＰＮ）
  となっている。

から，
　矩形ＬＰ，ＰＮの２倍も
　　中項面積
　　　である。
　　　　　　[......(１３)]

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。　
• 　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  となっている。

そして
　ＡＫが
　　ＤＫと通約
　　　できない
ことが証明された

• 　（４）
  による。
• 　矩形ＡＫ¬∩矩形ＤＫ
  となっている。

から，
　ＬＰ,ＰＮ上の正方形の和も
　　矩形ＬＰ,ＰＮの２倍と通約
　　　できない。
　　　　　　[......(１４)]

• 　前節、 （１０） （１１）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)¬∩２矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  となっている。

そして
　ＡＩは
　　ＦＫと通約
　　　できない

• 　（５）
  による。
• 　矩形ＡＩ¬∩ＦＫ
  となっている。

から，
　ＬＰ上の正方形は
　　ＰＮ上の正方形と通約
　　　できない。

• 　前節、 　（６）
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　正方(_ＬＰ)¬∩正方(_ＰＮ)
  となっている。　

したがって
　ＬＰ,ＰＮは
　　平方において通約
　　　できず，
　　それらの上の正方形の和を
　　中項面積
　　　とし，
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍を
　　中項面積
　　　とし，
さらに
　　それらの上の正方形の和を
　　それらによって
　　　かこまれる
　　矩形の２倍と通約
　　　できない
ようにする。

• 　前節、 （１２） （１３） （１４）
  による。
• 　ＬＰ¬∩^^2 ＰＮ、
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；中項面積、
  　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積、
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)¬∩２矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  となっている。　

したがって
　ＬＮは
　　中項面積と中項面積の差に等しい正方形の辺と
　　　よばれる
　　無理線分
　　　である。

• 　前節
  　命題２ー７（差の平方）
  による。
  
• 　正方(_ＬＮ)
  　　＝正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)ー２矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  　　；中項面積
  となっている。

そして
　　面積ＡＢに
　　　等しい
　　正方形の辺
　　　である。

• 　（１５）による。
• 　正方(_ＬＮ)＝矩形ＡＢ
  となっている。

したがって
　　この面積に
　　　等しい
　正方形の辺は
　　二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
　　　である。

• 　前節、前々節
  による。
• 　辺.正方(；＝矩形ＡＢ)
  　　；二つの中項面積の差に等しい正方形の辺
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー９６は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  　命題１０ー９０（作図.第６の余線分）
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により、
  　ＡＣ；有理線分、
  　ＡＤ；第６の余線分、
  　ＤＧ；ＡＤへの付加
  　矩形ＡＢ(ＡＣ、ＡＤ)
  をとり、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  　命題６ー２８（作図.線分の平行四辺形分割（コ））
  により、
  　中点Ｅ(ＤＧ)、
  　Ｆ(ＡＧ；矩形(ＡＦ、ＦＧ)＝正方(_ＥＧ))
  をとり、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により、
  　ＡＣ//ＥＨ//ＦＩ//ＧＫ
  をとり、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　正方ＬＭ(_ＬＰ)＝矩形ＡＩ(ＡＣ、ＡＦ)
  をつくり
  また、
  　命題６ー１７の補足(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　Ｎ（ＬＰ；正方ＮＯ(_ＮＰ)＝矩形ＦＫ(ＡＣ、ＦＧ)）
  をとり、
  　命題１ー４３の補足２(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
  により、
  　対角線ＰＲ(正方ＬＭ(_ＬＰ)；)
  　ＳＱ//ＬＰ、
  　ＮＴ//ＬＲ
  をとると、
  　ＬＰ¬∩^2 ＰＮ
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)；中項面積
  　２矩形(ＬＰ、ＰＮ)；中項面積
  　正方(_ＬＰ)＋正方(_ＰＮ)¬∩２矩形(ＬＰ、ＰＮ)
  となり、
  　ＬＮは中項面積と中項面積の差に等しい正方形の辺
  のことである。
• 命題１０ー９６は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		2-2,補3(題6-8),補2(題10-23),10�V-6
  公準
  公理		1-2,1-3
  命題	1-10,1-31,1-43補2,2-1補,6-17補,6-28,補2(義10-3),10-90	1-43,2-7,6-1,6-14,6-17補2,10-11,10-13,10-18,10-21,10-22助
  その他

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