ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー95(有理線分と第5の余線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
もし
 面積
  有理線分
  第5の余線分によって
   かこまれる
ならば,
  その面積
   等し
 正方形
  中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
   である。



 面積ABが
  有理線分ACと
  第5の余線分ADによって
   かこまれる
とせよ。

  面積ABに
   等し
 正方形
  中項面積と有理面積との差に等しい正方形の辺
   である
と主張する。

  DGをADへの付加と
   せよ。

そうすれば
 AG、GDは
  平方においてのみ通約
   できる
  有理線分
   であり、
   付加された
 線分GDは
   定められた
  有理線分ACと
  長さにおいて通約
   でき,
 AG全体の上の正方形
   付加された
  線分DGの正方形より
  AGと通約
   できない
  線分上の正方形だけ
   大きい。
      [......(1)]

したがって
もし
  上の正方形の4分の1に
   等しくて
  正方形だけ
   欠けている
 矩形
  AG上に
   つくられる
ならば,
  それを
  通約
   できない
  二つの部分に
   分けるであろう。

そこで
 DGが
  Eで
   2等分され
  EG上の正方形
   等しくて
  正方形だけ
   欠けている
 矩形
  AG上に
   つくられた
とし,
  それを
  矩形AF,FG
とせよ。
      [......(4)]

そうすれば
 AFは
  FGと長さにおいて通約
   できない。
[......(8)]

そして
 AGは
  CAと長さにおいて通約
   できず,
 両方とも
  有理線分
   である

から,
 AKは
  中項面積
   である。
      [......(2)]

また
 DGは
  有理線分
   であり,
  ACと長さにおいて通約
   できる

から,
 DKは
  有理面積
   である。
      [......(3)]

そこで
  AIに
   等し
 正方形LMが
   つくられた
とし,
  FKに
   等しく,
  同一のLPMを
   はさむ
 正方形NOが
   ひかれた
とせよ。
      [......(7)]

そうすれば
 正方形LM, NOは
  同じ対角線
   はさんでいる。
  ΡRを
  それらの対角線
とし,
作図がなされたとせよ。
      [......(6)]

そうすれば
同様にして
 LNが
  面積ABに
   等し
  正方形
   である
ことを証明しうる。
      [......(11)]


 LNは
  中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
   である
と主張する。

 AKが
  中項面積
   である
ことが証明され,
  LP, PN上の正方形の和に
   等し

から,
 LP, PN上の正方形の和は
  中項面積
   である。
      [......(9)]

また
 DKは
  有理面積
   であり
  矩形LP,PNの2倍に
   等し

から,
 後者自身も
  有理面積
   である。
      [......(10)]

そして
 AIは
  FKと通約
   できない

から,
 LP上の正方形
  PN上の正方形通約
   できない。

したがって
 LP, PNは
  平方において通約
   できず,
  それらの上の正方形の和を
  中項面積
   とし,
  それらによって
   かこまれる
  矩形の2
  有理面積
   とする。

それゆえ
 残りのLNは
  中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
   とよばれる
  無理線分
   である。

そして
  面積ABに
   等し
  正方形
   である。


よって
  面積ABに
   等し
 正方形
  中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
   である。

これが
証明すべきことであった。
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