ユークリッド原論をどう読むか(16)
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第10巻
命題10ー95
(有理線分と第5の余線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
もし
面積
が
有理線分
と
第5の余線分
によって
かこま
れる
ならば,
その
面積
に
等し
い
正方形
の
辺
は
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である。
面積は、
定義10ー2の補足2
による。
有理線分は、
定義10ー3の補足
による。
第5の余線分は、
定義10Vー5
による。
かこまれるは、
定義2ー1
による。
等しいは、
公理1ー7
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
辺は、
定義1ー19の補足
による。
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺は、
定義の補足(命題10ー77)
による。
面積
ABが
有理線分
ACと
第5の余線分
ADによって
かこま
れる
とせよ。
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
命題10ー89
(作図.第5の余線分)
命題2ー1の補足
(作図.矩形)
による。
AC;有理線分、
AD;第5の余線分、
矩形AB(AC、AD)
となっている。
面積
ABに
等し
い
正方形
の
辺
は
中項面積と有理面積との差に等しい正方形の辺
である
と主張する。
DGをADへの付加と
せよ。
命題10ー89
(作図.第5の余線分)
による。
AD;第5の余線分、
DG;ADへの付加
となっている。
そうすれば
AG、GDは
平方においてのみ通約
できる
有理線分
であり、
付加された
線分
GDは
定められた
有理線分
ACと
長さにおいて通約
でき,
AG全体の上の
正方形
は
付加された
線分
DGの
正方形
より
AGと
通約
できない
線分
上の
正方形
だけ
大き
い。
[......(1)]
前節、
定義10Vー5
(第5の余線分)
による。
AG、GD;有理線分、
AG∩^^2 GD、
DG∩指定有理線分AC
正方(_AG)=正方(_GD)+正方(_X)
AG¬∩X
となっている。
したがって
もし
上の
正方形
の4分の1に
等し
くて
正方形
だけ
欠けている
矩形
が
AG上に
つくられる
ならば,
それを
通約
できない
二つの部分に
分けるであろう。
前節、
命題10ー18
(上の正方形の差が大と非通約線分上の正方形⇔小の半分上の正方形に等しい大の矩形分割(コ)の辺はは非通約)
による。
そこで
DGが
点
Eで
2
等分
され
EG上の
正方形
に
等し
くて
正方形
だけ
欠けている
矩形
が
AG上に
つくられた
とし,
それを
矩形
AF,FG
とせよ。
[......(4)]
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題6ー28
(作図.線分の平行四辺形分割(コ))
による。
中点E(DG)、
F(AG;矩形(AF、FG)=正方(_EG))
となっている。
そうすれば
AFは
FGと
長さにおいて通約
できない。
[......(8)]
前節、前々節による。
AF¬∩FG
となっている。
そして
AGは
CAと
長さにおいて通約
できず,
両方とも
有理線分
である
(1)
による。
この前に
前命題と同様に、
次が挿入されるべきである。
「 E、F,Gを
通り
AC,BDに平行に
EH,FI,GKが
ひかれた
とせよ。」
[......(5)]
命題1ー31
(作図・平行線) による。
AC//EH//FI//GK
となっている。
AG¬∩CA、
AG、CA;有理線分
となっている。
から,
AKは
中項面積
である。
[......(2)]
前節、
命題10ー21
(平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分)、
定義の補足2(命題10ー23)
(中項面積)
による。
AK;中項面積
となっている。
また
DGは
有理線分
であり,
ACと
長さにおいて通約
できる
(1)
による。
DG∩AC;有理線分
となっている。
から,
DKは
有理面積
である。
[......(3)]
前節、
命題10ー19
(長さで通約な有理線分の矩形は有理面積)
による。
矩形DK(AC、DG);有理面積
となっている。
そこで
AIに
等し
い
正方形
LMが
つくられた
とし,
FKに
等し
く,
同一の
角
LPMを
はさむ
正方形
NOが
ひかれた
とせよ。
[......(7)]
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
正方LM(_LP)=矩形AI(AC、AF)
をつくり
また、
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
N(LP;正方NO(_NP)=矩形FK(AC、FG))
をとる。
正方LM(_LP)=矩形AI(AC、AF)、
N(LP;正方NO(_NP)=矩形FK(AC、FG))
となっている。
そうすれば
正方形
LM, NOは
同じ
対角線
を
はさんでいる。
ΡRを
それらの
対角線
とし,
作図がなされたとせよ。
[......(6)]
前節、
命題1ー43の補足2
(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
による。
対角線PR(正方LM(_LP);)
SQ//LP、
NT//LR
となっている。
そうすれば
同様にして
LNが
面積
ABに
等し
い
正方形
の
辺
である
ことを証明しうる。
[......(11)]
前命題と同様にという意味である。
以下にその概略を示す。
(4)
により、
矩形(AF、FG)=正方(_EG)
となり、
命題6ー14
(等積で等角な平行四辺形と逆比例)
により、
AF:EG=EG:FG
となる。
ところが、
(5)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
により、
AF:EG=矩形AI(AC、AF):矩形EK(AC、EG)
となり、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
により、
矩形EK=比例中項(矩形AI、矩形FK(AC、FG))
となり、
(6)
、
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
により、
MN=比例中項(正方LM、正方NO)
となる。
さらに、
(7)
、
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
による。
矩形AI=正方LM、
矩形FK=正方NO
また、
命題1ー43の補足2
(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
により、
対角線PR(正方LM(_LP);)
SQ//LP、
NT//LR
をとると、
矩形(AF、FG)=正方(_EG)
となり、
命題6ー14
(等積で等角な平行四辺形と逆比例)
により、
AF:EG=EG:FG
となり、
(5)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
により、
AF:EG=矩形AI(AC、AF):矩形EK(AC、EG)
となり、
また、
EG:FG=矩形EK(AC、EG):矩形FK(AC、FG)
となり、
したがって、
定義の補足3(命題6ー8)
(比例中項)
により、
矩形EK=比例中項(矩形AI、矩形FK)
となる。
ところが、
(6)
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
により、
MN=比例中項(正方LM、正方NO)
となり、
(7)
、
命題10ー22助
(2線分は一方の上の正方形と両者の矩形に比例)
により、
矩形AI=正方LM、
矩形FK=正方NO
となり、
命題6ー17の補足2
(等しいものの比例中項は等しい)
により、
矩形MN=矩形EK
となる。
そこで、
(7)
(6)
命題6ー1
(同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例)
命題1−43
(平行四辺形の補形)
公理1ー2
(等しいものに等しいものを加える)
により、
矩形DH=矩形EK、
矩形LO=矩形MN
したがって、
矩形DK=2矩形(LP、PN)
となり、
[......(12)]
(7)
定義2ー2
(グノーモーン)
公理1ー2
(等しいものに等しいものを加える)
により、
矩形DK=グUVW+正方NO
となり、
(6)
公理1ー2
(等しいものに等しいものを加える)
により、
矩形AK=正方LM+正方NO、
矩形DK=グUVW+正方NO
となり、
公理1ー3
(等しいものから等しいものをひく)
により
矩形AB=正方ST(_LN)
となる。
LN=辺.正方(;=矩形AB)
となっている。
LNは
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である
と主張する。
AKが
中項面積
である
ことが証明され,
LP, PN上の
正方形
の和に
等し
い
(2)
(7)
による。
AK;中項面積、
=正方(_LP)+正方(_PN)
となっている。
から,
LP, PN上の
正方形
の和は
中項面積
である。
[......(9)]
前節による。
正方(_LP)+正方(_PN);中項面積
となっている。
また
DKは
有理面積
であり
矩形
LP,PNの2倍に
等し
い
(3)
(7)
(12)
による。
矩形DK;有理面積、
=2矩形(LP、PN)
となっている。
から,
後者自身も
有理面積
である。
[......(10)]
前節、
定義10ー4の補足
(有理面積、無理面積)
による。
2矩形(LP、PN);有理面積
となっている。
そして
AIは
FKと
通約
できない
(8)
による。
矩形AI¬∩矩形FK
となっている。
から,
LP上の
正方形
も
PN上の
正方形
と
通約
できない。
前節、
(7)
による。
正方(_LP)¬∩正方(_PN)
となっている。
したがって
LP, PNは
平方において
通約
できず,
それらの上の
正方形
の和を
中項面積
とし,
それらによって
かこま
れる
矩形
の2
倍
を
有理面積
とする。
前節、
(9)
(10)
による。
正方(_LP)¬∩正方(_PN)、
正方(_LP)+正方(_PN);中項面積、
矩形(LP、PN);有理面積
となっている。
それゆえ
残りのLNは
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
とよばれる
無理線分
である。
前節
定義の補足(命題10ー77)
(中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺)
による。
LN;中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
となっている。
そして
面積
ABに
等し
い
正方形
の
辺
である。
(11)
による。
LN=辺.正方(_;=矩形AB)
となっている。
よって
面積
ABに
等し
い
正方形
の
辺
は
中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
である。
前節、前々節
による。
辺.正方(_;=矩形AB);中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
となっている。
これが
証明すべきことであった。
命題10ー95
は、
命題の補足2(定義10ー3)
(作図.任意の有理線分)
命題10ー89
(作図.第5の余線分)
命題2ー1の補足
(作図.矩形)
により、
AC;有理線分、
AD;第5の余線分、
DG;ADへの付加
矩形AB(AC、AD)
をとり、
命題1ー10
(作図・線分の2等分)
命題6ー28
(作図.線分の平行四辺形分割(コ))
により、
中点E(DG)、
F(AG;矩形(AF、FG)=正方(_EG))
をとり、
命題1ー31
(作図・平行線)
により、
AC//EH//FI//GK
をとり、
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
正方LM(_LP)=矩形AI(AC、AF)
をつくり
また、
命題6ー17の補足
(作図.線分上に矩形と等しい正方形)
により、
N(LP;正方NO(_NP)=矩形FK(AC、FG))
をとり、
命題1ー43の補足2
(作図.対角線をはさむ平行四辺形)
により、
対角線PR(正方LM(_LP);)
SQ//LP、
NT//LR
をとると、
LP¬∩^2 PN
正方(_LP)+正方(_PN);中項面積
2矩形(LP、PN);有理面積
となり、
LNは中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺
のことである。
命題10ー95
は推論用命題である。
前提
作図・構成
推論
定義
2-2
,
補3(題6-8)
,
10-4補
,
補2(題10-23)
,
補(題10-77)
,
10V-5
公準
公理
1-2
,
1-3
命題
1-10
,
1-31
,
1-43補2
,
2-1補
,
6-17補
,
6-28
,
補2(義10-3)
,
10-89
1-43
,
6-1
,
6-14
,
6-17補2
,
10-18
,
10-19
,
10-21
,
10-22助
その他
前
次
目次
頁頭