ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
（作図.２線分の正方形の和となる正方形）
(作図.線分上に半円)
補 助 定 理
２つの不等な線分が与えられた
とき、
大きい線分上の正方形が
小さい線分上の正方形より
いかなる正方形だけ大きいか
《を見いだすこと。》
［その辺となる線分をつくること。］
与えられた不等な２線分をＡＢ、Ｃ
とし、
そのうち
ＡＢが大きい
とせよ。
-
公準１ー１の補足２（作図.任意の線分）
により、
任意の線分ＡＢをとり、
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により
ＡＢ上に点Ｃ'をとり、
命題１ー２（作図・線分）
により
任意の位置に
ＡＣ'に等しい線分Ｃをとる。
-
ＡＢ＞Ｃ
となっている。
このとき
ＡＢ上の正方形は
Ｃ上の正方形より
いかなる正方形だけ大きいか
を見いださねばならぬ。
ＡＢ上に半円ＡＤＢが描かれた
とし、
-
命題１ー１０（作図・線分の２等分）
により
ＡＢ上に中点Ｅをとり、
公準１ー３（作図.円）
により
中心Ｅ、半径ＥＡの円をかく。
直径ＡＢで区切られた
一方の円周と直径ＡＢによる図形が
求める半円である。
よって、
与えられた線分を直径
として、
半円をとる
ことができる。
(以下、命題１０ー１４補助の補足２
(作図.線分上に半円)という。)
それにＣに等しいＡＤが挿入され、
[......(ａ)]
ＤＢが結ばれた
とせよ。
そうすれば
角ＡＤＢが直角であること、
-
（ａ）、
命題３ー３１（半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
による。
-
角ＡＤＢ＝直角
となっている。
ＡＢ上の正方形が
ＡＤ、すなわち
Ｃ上の正方形より、
ＤＢ上の正方形だけ大きい
ことは明らかである。
-
（ａ）、
命題１−４７（三平方の定理）
による。
-
sq(_ＡＢ)＝sq(_Ｃ)＋sq(_ＤＢ)
となっている。
同様にして
２線分が与えられた
とき、
それらの上の正方形の和に
等しい正方形の辺
《もこのようにして見いだされる。》
［となる線分をつくること。］
(以下、命題１０ー１４助の系
（作図.２線分の正方形の和となる正方形の辺）という。)
与えられた２線分をＡＤ、ＤＢ
とし、
それらの上の正方形の和に
等しい正方形の辺
を見いださねばならぬとせよ。
それらの２線分が定められ、
直角ＡＤ、ＤＢをかこむ
[......(ｂ)]
-
命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
により、
ＡＤ上のＤから垂線をひき、
命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）という。）
により
ＤＢに等しくなるように
ＤＢ’をとる。
Ｂ’を改めてＢ
とし、
Ｂを溯ってもちいている。
とし、
ＡＢが結ばれた
とせよ。
ＡＤ、 ＤＢ上の正方形の和に
等しい正方形の辺がＡＢ
であることは明らかである。
-
（ｂ）、
命題１−４７（三平方の定理）
による。
-
sq(_ＡＤ)＋sq(_ＤＢ)＝sq(_ＡＢ)
となっている。
これが証明すべきことであった。
-
この補助定理が
命題１０−１４
のためにある
ことは明白である。
命題１０−１４
を見ると、
論証のため
ではなく、
命題の設定となる図を作るために
補助定理を必要としている。
このことから、
原論は
命題の設定に関して
具体的作図を重視している
と見ることができる。
-
命題１０ー１４助は、
２線分Ａ、Ｂ；Ａ＞Ｂ、
に対し、
線分Ｃ；Ａ斜辺、Ｂ、Ｃ直角を挟む直角三角形
をとると、
sq(_Ｃ)＝sq(_Ａ)ーsq(_Ｂ)。
命題１０ー１４助の系は、
２線分Ａ、Ｂ
に対し、
線分Ｃ；Ａ、Ｂが直角を挟む
直角三角形の斜辺
をとると、
sq(_Ｃ)＝sq(_Ａ)＋sq(_Ｂ)。
のことである。
-
命題１０ー１４助の系 （作図.２線分の正方形の和となる正方形の辺）
-
命題１０ー１４補助の補足２ (作図.線分上に半円)
- 命題１０ー１４助は作図用命題である。
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