ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７１（有理面積と中項面積の和に等しい正方形の辺）
　有理面積と中項面積が加えられる
ならば、
　４種の無理線分、
　すなわち
　二項線分か
　第１の双中項線分か
　優線分かまたは
　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
が生ずる。

• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 中項面積は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• 無理線分は、
  定義１０ー４による。
• 二項線分は、
  定義の補足（命題１０ー３６）による。
• 第１の双中項線分は、
  定義の補足(命題１０ー３７)による。
• 優線分は、
  定義の補足(命題１０ー３９)による。
• 中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４０）による。

　ＡＢを有理面積とし、
　ＣＤを中項面積
とせよ。

• 　矩形ＡＢ、矩形ＣＤは、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  によるが、
  　具体的なものではなく、
  　仮想的なものである。
  
• 　矩形ＡＢ；有理面積
  　矩形ＣＤ；中項面積
  となっている。

　面積ＡＤに等しい正方形の辺は
　　二項線分か
　　第１の双中項線分か
　　優線分かまたは
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
であると主張する。

　ＡＢは
　　ＣＤより大きいか
　　あるいは
　　小さいかである。

• 　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  に準じ、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  により、
  　ＡＢ＝ＣＤとなることはない。
• 　ＡＢ＞＜ＣＤ
  となっている。
• 記述からすると，
  ここから場合分けになる。
  しかし，
  　論理の流れからすると，
  　（１０）までは，
  　　場合分けの前提であり，
  　場合分けは（１０）から始まる．
  ＡＢ＞ＣＤの場合(case01) 、
  ＡＢ＜ＣＤの場合(case02) 、
  場合分け終了(case0e)

(case01)
まず
　大きい
とせよ。

• 　推論の設定である。
• 　論理の流れからすると，
  　（１０）までは，
  　　場合分けの前提であり，
  　場合分けは（１０）から始まる．
  
• 　ＡＢ＞ＣＤ
  となっている。

そして
　有理線分ＥＦが
　　定められ、
　ＥＦ上に
　ＡＢに等しく
　ＥＨを幅とするＥＧが
　　つくられた
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　ＥＦ；有理線分、
  　点Ｈ(;矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＨ)＝矩形ＡＢ
  となっている。

そして
　ＤＣに等しく
　ＥＦ上にＨＫを幅とする
　ＨＩがつくられた
とせよ。
[......(２)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　点Ｋ(;矩形ＨＩ(ＥＦ、ＨＫ)＝矩形ＤＣ
  となっている。

そうすれば
　ＡＢは
　　有理面積であり
　　ＥＧに等しい
から、
　ＥＧも
　　有理面積である。

• 　前々節、、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　ＥＧ；有理面積
  となっている。

そして
　ＥＨを
　　幅とし、
　ＥＦ上につくられた。
したがって
　ＥＨは
　　有理線分であり
　　ＥＦと長さにおいて通約できる。
[......(３)]

• 　（１）、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約
  による。
• 　矩形ＥＨ；∩矩形ＥＦ、有理線分
  となっている。

また
　ＣＤは
　　中項面積であり
　　ＨＩに等しい
から、
　ＨＩも
　　中項面積である。

• 　（２）、
  　命題１０ー２３の系(中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　矩形ＨＩ；∩矩形ＣＤ、中項面積
  となっている。

そして
　ＨＫを
　　幅としＥＦ上にある。
したがって
　ＨＫは
　　有理線分であり
　　ＥＦと長さにおいて通約できない。
[......(４)]

• 　（２）、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で底辺有理線分なら幅は有理で非通約）
  による。
• 　ＨＫ；¬∩ＥＦ、有理線分
  となっている。

そして
　ＣＤは
　　中項面積であり、
　ＡＢは有理面積である
から、
　ＡＢは
　　ＣＤと通約できない。

• 　　命題１０ー２３の補足６(有理面積と中項面積は非通約)
  による。
• 　矩形ＡＢ¬∩矩形ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＥＧも
　　ＨＩと通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー１３（通約量と非通約なら非通約）
  による。
• 　矩形ＥＧ¬∩矩形ＨＩ
  となっている。

ところが
　ＥＧが
　　ＨＩに対するように、
　ＥＨが
　　ＨＫに対する。
したがって
　ＥＨも
　　ＨＫと長さにおいて通約できない。
[......(５)]

• 　前節、 （１）、 （２）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
  
• 　矩形ＥＧ：矩形ＨＩ＝ＥＨ：ＨＫ、
  　ＥＨ¬∩ＨＫ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分である。

• 　（３）、 （４）による。
• 　ＥＨ、ＨＫ；有理線分
  となっている。

したがって
　ＥＨ、ＨＫは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＥＨ∩^^2 ＨＫ
  となっている。

それゆえ
　ＥＫは
　　Ｈで分けられた二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＫ；Ｈ分点の二項線分
  となっている。

[......(１０)]
そして
　ＡＢは
　　ＣＤより大きく、
　ＡＢは
　　ＥＧに、
　ＣＤは
　　ＨＩに等しい
から、
　ＥＧも
　　ＨＩより大きい。

• 　場合分けの設定、 （１） （２）
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　矩形ＥＧ＞矩形ＨＩ
  となっている。

ゆえに
　ＥＨも
　　ＨＫより大きい。

• 　前節、 （５） 　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
  
• 　ＥＨ＞ＨＫ
  となっている。

そこで
　ＥＨ上の正方形は
　　ＨＫ上の正方形より
　　ＥＨと長さにおいて通約できる線分上の正方形だけ
　　　　大きいか
　　　または
　　　通約できない線分上の正方形だけ
　　　　大きい。

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ；∩ＥＨ、または、¬∩ＥＨ
  となっている。
• 　Ｘ；∩ＥＨ、または、¬∩ＥＨ
  となっている。
• 場合分けになる。
  　Ｘ∩ＥＨの場合(case11) 、
  　Ｘ；¬∩ＥＨの場合(case12) 、
  場合分け終了(case1e)

(case11)
まず
　ＥＨと通約できる線分上の正方形だけ大きい
とせよ。
そして
　大きい線分ＨＥは
　　定められた有理線分ＥＦと通約できる。

• 　場合分けの設定、 　（３）による。
  
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＥＨ、
  　ＨＥ∩ＥＦ
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　第１の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー１（第１の二項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第１の二項線分
  となっている。

ところが
　ＥＦは
　　有理線分である。

• 　（１）による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
もし
　面積が
　　有理線分と第１のニ項線分とによって
　　　かこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　二項線分である。
したがって
　ＥＩに等しい正方形の辺は
　　二項線分である。
[......(６)]

• 　命題１０ー５４（有理線分と第１の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は二項線分） による。
• 　辺Ｘ(；正方(_Ｘ)＝矩形ＥＩ)；二項線分
  となっている。

それゆえ
　ＡＤに等しい正方形の辺も
　　二項線分である。

• 　前節、
  （１）
  （２）による。
• 　辺Ｘ(；正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；二項線分
  となっている。

(case12)
次に
　ＥＨ上の正方形が
　　ＨＫ上の正方形より
　　ＥＨと通約できない線分上の正方形だけ大きい
とせよ。
そして
　大きい線分ＥＨが
　　定められた有理線分ＥＦと長さにおいて通約できる。

• 　場合分けの設定、
  （３）による。
  
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ¬∩ＥＨ、
  　ＥＨ∩ＥＦ
  となっている。

　 したがって
　ＥＫは
　　第４の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー４（第４の二項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第４の二項線分
  となっている。

ところが
　ＥＦは
　　有理線分である。
そして
もし
　面積が
　　有理線分と第４の二項線分とによってかこまれる
ならぱ、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　優線分とよばれる無理線分である。
したがって
　面積ＥＩに等しい正方形の辺は
　　優線分である。

• 　前節、
  （３）、
  　命題１０ー５７（有理線分と第４の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は優線分）
  による。
  
• 　辺Ｘ(；正方(_Ｘ)＝矩形ＥＩ)；優線分
  となっている。

それゆえ
　ＡＤに等しい正方形の辺も
　　優線分である。
[......(７)]

• 　前節、
  （１）
  （２）による。
• 　辺Ｘ(；正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；優線分
  となっている。

(case1e)

(case02)
次に
　ＡＢが
　　ＣＤより小さい
とせよ。
そうすれば
　ＥＧも
　　ＨＩより小さい。

• 　場合分けの設定、 （１） （２）
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　矩形ＥＧ＜矩形ＨＩ
  となっている。

ゆえに
　ＥＨも
　　ＨＫより小さい。

• 　前節、 （５）
  　命題５ー１４（同じ比の前(後)項の大等小）
  による。
• 　ＥＨ＜ＨＫ
  となっている。

そして
　ＨＫ上の正方形は
　　ＥＨ上の正方形より
　　ＨＫと通約できる線分上の正方形か
　　または
　　通約できない線分上の正方形だけ大きい。

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）、
  　定義１０ー１（通約）
  による。
• 　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ) 　Ｘ；∩ＥＨ、または、¬∩ＥＨ
  となっている。
• 　正方(_ＨＫ)＝正方(_ＥＨ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ；∩ＨＫ、または、¬∩ＨＫ
  となっている。
• 場合分けになる。
  　Ｘ∩ＨＫの場合(case21) 、
  　Ｘ；¬∩ＨＫの場合(case22) 、
  場合分け終了(case2e)

(case21)
まず
　ＨＫと長さにおいて通約できる線分上の正方形だけ大きい
とせよ。
そして
　小さい線分ＥＨは
　　定められた有理線分ＥＦと
　　長さにおいて通約できる。

• 　場合分けの設定、 （３）による。
  
• 　正方(_ＨＫ)＝正方(_ＥＨ)＋正方(_Ｘ)、
  　Ｘ∩ＨＫ、
  　ＥＨ∩ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　ＥＫは
　　第２の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第２の二項線分
  となっている。

ところが
　ＥＦは
　　有理線分である。

• 　（１）による。
• 　ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
もし
　面積が
　　有理線分と第２の二項線分とによってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　第１の双中項線分である。
したがって
　面積ＥＩに等しい正方形の辺は
　　第１の双中項線分である。
[......(８)]

• 　命題１０ー５５（有理線分と第２の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は第１の双中項線分） による。
• 　辺Ｘ(;正方(_Ｘ)＝矩形ＥＩ)；第１の双中項線分
  となっている。

それゆえ
　ＡＤに等しい正方形の辺も
　　第１の双中項線分である。

• 　前節、 （１） （２）による。
• 　辺Ｘ(;正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；第１の双中項線分
  となっている。

(case22)
次に
　ＨＫ上の正方形が
　　ＨＥ上の正方形より
　　ＨＫと通約できない線分上の正方形だけ大きい
とせよ。
そして
　小さい線分ＥＨは
　　定められた有理線分ＥＦと通約できる。

• 　場合分けの設定、 （３）による。
• 　正方(_ＨＫ)＝正方(_ＨＥ)＋正方(_Ｘ)
  　Ｘ¬ＨＫ
  　ＥＨ∩ＥＦ
  となっている。

したがって
　ＥＫは
　　第５の二項線分である。

• 　前節、
  　定義１０�Uー５（第５の二項線分）
  による。
• 　ＥＫ；第５の二項線分
  となっている。

ところが、
　ＥＦは
　　有理線分である。
そして
もし
　面積が
　　有理線分と第５の二項線分とによってかこまれる
ならば、
　その面積に等しい正方形の辺は
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺である。
ゆえに
　面積ＥＩに等しい正方形の辺は
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺である。

• 　前節、 （３）
  　命題１０ー５８（有理線分と第５の二項線分の矩形に等しい正方形の辺は中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺）
  による。
  
• 　　辺Ｘ(;正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。　

したがって
　面積ＡＤに等しい正方形の辺も
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺である。
[......(９)]

• 　前節、 （１） （２）による。
• 　　辺Ｘ(;正方(_Ｘ)＝矩形ＡＤ)；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。　

(case2e)
(case0e)
よって
　有理面積と中項面積か加えられる
ならば、
　４種の無理線分、
　すなわち
　二項線分か
　第１の双中項線分か
　優線分か
　または
　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
が生ずる。

• 　（６） （８） （７） （９）による。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー７１は、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  により
  　矩形ＡＢ、矩形ＣＤ
  をとり、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  により、
  　ＥＦ；有理線分、
  　点Ｈ(;矩形ＥＧ(ＥＦ、ＥＨ)＝矩形ＡＢ
  　点Ｋ(;矩形ＨＩ(ＥＦ、ＨＫ)＝矩形ＤＣ
  をとると、
  　矩形ＡＢ＞矩形ＣＤ、
  　　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＥＨ
  　　なら、
  　　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)；二項線分
  　矩形ＡＢ＞矩形ＣＤ、
  　　正方(_ＥＨ)＝正方(_ＨＫ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＥＨ
  　なら、
  　　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)；優線分
  　矩形ＡＢ＜矩形ＣＤ、
  　　正方(_ＨＫ)＝正方(_ＥＨ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ∩ＥＨ
  　なら、
  　　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)；第１の双中項線分
  　矩形ＡＢ＜矩形ＣＤ、
  　　正方(_ＨＫ)＝正方(_ＥＨ)＋正方(_Ｘ)、
  　　Ｘ¬∩ＥＨ
  　なら、
  　　　辺Ｙ(；正方(_Ｙ)＝矩形ＡＤ)
  　　　　；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  のことである。
  
• 命題１０ー７１は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補2(題10-23),補(題10-36),10�U-1,10�U-2,10�U-4,10�U-5
  公準
  公理		1-7補,1-8補2
  命題	6-16補3,補2(義10-3),10-14助	5-14,6-1,10-11,10-13,10-20,10-22,10-23系,10-23補6,10-54,10-55,10-57,10-58
  その他		２段階の場合分け

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