ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１−４６（作図.線分上に正方形）
与えられた線分上に
　正方形を描くこと。

• 線分は、定義１−４の補足による。
• 正方形は、定義１−２２による。

与えられた線分をＡＢとせよ。

• 　線分ＡＢ
  をとっている。

このとき
　線分ＡＢ上に
　正方形を描かねばならぬ。



線分ＡＢに
　その上の点Ａから
　直角にＡＣがひかれ、

• 命題１−１１（作図・線分からの垂線）
  による。
• 　半直線ＡＣ[;;∠ＣＡＢ＝∠Ｒ]
  をとっている。

ＡＤをＡＢに等しくせよ。 【・・・(a)】

• 命題１−３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｄ(ＡＣ;;ＡＤ＝ＡＢ)
  をとっている。

そして
　点Ｄを通り、ＡＢに平行に
　ＤＥがひかれ、

• 命題１−３１（作図・平行線）
  による。
• 　平行線ＤＥ'(Ｄ,ＡＢ)
  をとっている。

点Ｂを通り、
　ＡＤに平行にＢＥが
　ひかれたとせよ。 【・・・(b)】

• 命題１−３１（作図・平行線）
  による。
• 　交点Ｅ(ＤＥ',平行線(Ｂ,ＡＤ))
  をとっている。

そうすれば
　ＡＤＥＢは平行四辺形である。

• 　(a) (b) ,
  　定義の補足（命題１−３４）(平行四辺形・対角線)
  による。
• 　ＡＢＣＤ;平行四辺形
  となっている。

ゆえに
　ＡＢはＤＥに、
　ＡＤはＢＥに等しい。

• 命題１−３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＡＢ＝ＤＥ、
  　ＡＤ＝ＢＥ
  となっている。

ところが
　ＡＢはＡＤに等しい。

• (a) による。
• 　ＡＢ＝ＡＤ
  となっている。

したがって
　４辺ＢＡ、ＡＤ、ＤＥ、ＥＢは
　互いに等しい。

• 公理１−１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＢＡ＝ＡＤ＝ＤＥ＝ＥＢ
  となっている。

ゆえに
　平行四辺形ＡＤＥＢは等辺である。 【・・・(1)】

• 定義１−２０の補足（等辺）
  による。
• 　平四ＡＤＥＢ;等辺
  となっている。

ついで
　方形でもあると主張する。

線分ＡＤが
　平行線ＡＢ、ＤＥに交わったから、
　角ＢＡＤ、ＡＤＥの和は
　２直角に等しい。

• (a) (b) ,
  　命題１−２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＥ＝２∠Ｒ
  となっている。

そして
　角ＢＡＤは直角である。

• (a) による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
　角ＡＤＥも直角である。 【・・・(2)】

• 公理１−３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＡＤＥ＝∠Ｒ
  となっている。

ところが
　平行四辺形において
　対辺および対角は互いに等しい。

• 命題１−３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  である。

ゆえに
　対角ＡＢＥ、ＢＥＤの双方は
　直角である。

• (2) ,前節による。
• 　∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＤ＝∠Ｒ
  となっている。

したがって
　ＡＥＤＢは方形である。

• 定義１−２２の補足３（方形）
  による。
• 　ＡＥＤＢ;方形
  となっている。

そして
　等辺であることも先に証明された。

• (1) による。
• 　ＡＥＤＢ;等辺
  となっている。

よって
　それは正方形である。

• 定義１−２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　ＡＥＤＢ;正方形
  となっている。

そして
　線分ＡＢ上に描かれている。
　
これが作図すべきものであった。

• 命題1-46は、
  　線分ＡＢ
  に対して、
  　半直線ＡＣ[;;∠ＣＡＢ＝∠Ｒ]、
  　点Ｄ(ＡＣ;ＡＤ＝ＡＢ)、
  　平行線ＤＥ'(Ｄ,ＡＢ)、
  　交点Ｅ(ＤＥ',平行線(Ｂ,ＡＤ)、
  をとれば、
  　ＡＤＥＢ;正方形
  のことである。
• 命題1-46は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-20補、1-22、 1-22補足3、補（題1-34）
  公準
  公理		1-1、1-3
  命題	1-3補、1-11、1-31	1-29、1-34
  その他

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