ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８８（作図.第４の余線分）
　　第４の余線分を
　　　見いだす
こと。

• 第４の余線分は、
  定義１０�Vー４による。

　有理線分Ａが
　　　定められ，
　ＢＧが
　　Ａと長さにおいて通約
　　　できるようにせよ。

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  による。
  
• 　Ａ；有理線分
  　ＢＧ∩Ａ
  となっている。

そうすれば
　ＢＧも
　　有理線分
　　　である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＢＧ：有理線分
  となっている。

　二つの数ＤＦ,ＦＥが
　　　定められ，
　ＤＥ全体が
　　ＤＦ，ＥＦの双方に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない
ようにせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　ＤＦをとり、
  　ＤＦの素因数の一つを
  　　ＤＦを合成せず、
  　　その素因数より大きな素因数に
  　　　入れ替えた
  　　数をＤＥとすると、
  　命題１０ー８７の補足(素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない)
  により
  　ＤＥは
  　　ＤＦと平方数：平方数の比を
  　　　持たない．
  　ＥＦ＝ＤＥーＤＦ
  とすると、
  　ＥＦも
  　　ＤＦの合成に
  　　　入れ替えて用いた
  　　素因数を持たない。
  なぜなら、
  もし
  　ＥＦが
  　　その素因数を
  　　　もてば、
  　命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  により、
  　ＤＥも
  　　その素因数を
  　　　持ち矛盾する
  から。
• 　ＤＥ：ＤＦ≠平方数：平方数
  　ＤＥ：ＦＥ≠平方数：平方数
  となっている。

そして
　ＤＥが
　　ＥＦに対するように，
　ＢＧ上の正方形が
　　ＧＣ上の正方形に
　　　対する
ようにされたとせよ。
　　　　　　[......(４)]

• 　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)＝ＤＥ：ＥＦ
  となっている。

そうすれば
　ＢＧ上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形と通約
　　　できる。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)∩正方(_ＧＣ)
  となっている。

ところが
　ＢＧ上の正方形は
　　有理面積
　　　である。

• 　（１）
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＧＣ上の正方形も
　　有理面積
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＧＣ)；有理面積
  となっている。

それゆえ
　ＧＣは
　　有理線分
　　　である。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＧＣ；有理線分
  となっている。

そして
　ＤＥは
　　ＥＦに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない

• 　（２）による。
• 　ＤＥ：ＥＦ≠平方数：平方数
  となっている。

から，
　ＢＧ上の正方形も
　　ＧＣ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に
　　　対する
　　比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＢＧは
　　ＧＣと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• ＢＧ¬∩ＧＣ
  となっている。

そして
　両方とも
　　有理線分である。

• 　（１）
  （３）による。
  
• 　ＢＧ、ＧＣ；有理線分
  となっている。

ゆえに
　ＢＧ，ＧＣは
　　平方においてのみ通約
　　　できる
　　有理線分
である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• 　ＢＧ∩^^2 ＧＣ
  となっている。

したがって
　ＢＣは
　　余線分
　　　である。

• 　前節、
  　定義の補足(命題１０ー７３) (余線分)
  による。
• 　ＢＣ；余線分
  となっている。

[次に第４の余線分でもあると主張する。]

そこで
　　Ｈ上の正方形を
　　ＢＧ上の正方形と
　　ＧＣ上の正方形との差
とせよ。
　　　　　　[......(５)]

• 　命題１０ー１４助（作図.線分上の正方形の差となる正方形の辺）
  による
• 　正方(_Ｈ)＝正方(_ＢＧ)ー正方(_ＧＣ)
  となっている。

そうすれば
　ＤＥが
　　ＥＦに対するように，
　ＢＧ上の正方形が
　　ＧＣ上の正方形に
　　　対する

• 　（４）による。
• 　ＤＥ：ＥＦ＝正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)
  となっている。

から，
反転比により
　ＥＤが
　　ＤＦに対するように，
　ＧＢ上の正方形が
　　Ｈ上の正方形に
　　　対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１９の系の補足２(比例ならば反転も比例)
  による。
• 　ＥＤ：ＤＦ＝正方(_ＢＧ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＥＤは
　　ＤＦに対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　（２）による。
• 　ＥＤ：ＤＦ≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＧＢ上の正方形も
　　Ｈ上の正方形に対し，
　平方数が
　　平方数に対する比を
　　　もたない。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＧＢ)：正方(_Ｈ)≠平方数：平方数
  となっている。

ゆえに
　ＢＧは
　　Ｈと長さにおいて通約
　　　できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＢＧ¬∩Ｈ
  となっている。

そして
　ＢＧ上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形より
　　Ｈ上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　（５）による。
• 　正方(_ＢＧ)＝正方(_ＧＣ)＋正方(_Ｈ)
  となっている。

したがって
　ＢＧ上の正方形は
　　ＧＣ上の正方形より
　　ＢＧと通約できない線分上の正方形だけ
　　　大きい。

• 　前節、前々節による。
• 　正方(_ＢＧ)＝正方(_ＧＣ)＋正方(_Ｈ)、
  　ＢＧ¬∩Ｈ
  となっている。

そして
　ＢＧ全体は
　　定められた有理線分と
　　長さにおいて通約
　　　できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＢＧ∩Ａ
  となっている。

したがって
　ＢＣは
　　第４の余線分
　　　である。

• 　前節、前々節、
  　定義１０�Vー４（第４の余線分）
  による。
• 　ＢＣ；第４の余線分
  となっている。

よって
　第４の余線分が
　　　見いだされた。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー８８は、
  　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)、
  　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）、
  　命題１０ー６の系（作図.線分で数：数となる線分）
  により、
  　Ａ；有理線分
  　ＢＧ∩Ａ
  をとり、
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　ＤＦをとり、
  　ＤＦの素因数の一つを
  　　ＤＦを合成せず、
  　　その素因数より大きな素因数に
  　　　入れ替えた
  　　数をＤＥとすると、
  　命題１０ー８７の補足(素因数を１つ含む合成数は、その素因数を含まない数と平方数の比を持たない) により、
  　ＤＥ：ＤＦ≠平方数：平方数
  　ＤＥ：ＦＥ≠平方数：平方数
  となり、
  　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により、
  　正方(_ＢＧ)：正方(_ＧＣ)＝ＤＥ：ＥＦ
  とすると、
  　ＢＣは
  　　第４の余線分
  のことである。
• 命題１０ー８８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-3補,10-4補,補(題10-73),10�V-4
  公準
  公理
  命題	補(義7-2),補2(義10-3),10-6系,10-6系2,10-14助	5-19系補2,5-11,7-1補2,10-5,10-6,10-9,10-87補
  その他

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