ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１−４５（作図.直線図形,直線角と平行四辺形）
「直線図形の四角形による準一般的証明」
(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
与えられた直線角のなかに
与えられた直線図形に等しい
平行四辺形をつくること。
与えられた直線図形をＡＢＣＤ、
与えられた直線角をＥとせよ。
このとき
与えられた角Ｅのなかに
直線図形ＡＢＣＤに等しい
平行四辺形をつくらねばならぬ。
ＤＢが結ばれ、
- 公準１−１（作図.直線）
による。
-
線分ＤＢ
をとっている。
三角形ＡＢＤに等しい
平行四辺形ＦＨが
Ｅに等しい角ＨＫＦのなかに
つくられたとせよ。
【・・・(a)】
- 命題１−４２（作図.線分,三角形,直線角と平行四辺形）
による。
-
半直線ＫＭ'、
半直線ＫＦ'[∠Ｆ'ＫＭ'＝∠Ｅ]、
平四ＦＫＨＧ(Ｋ,点Ｈ[ＫＭ',ＫＨ＝ＡＢ/２],点Ｆ[ＫＦ',平四ＦＫＧＨ＝△ＡＢＣ]
をとっている。
そして
線分ＧＨ上に
三角形ＤＢＣに等しい
平行四辺形ＧＭが、
Ｅに等しい角ＧＨＭのなかに
つくられたとせよ。
【・・・(b)】
- 命題１−４４（作図.線分,三角形,直線角と平行四辺形）
による。
-
そうすれば
角Ｅは
角ＨＫＦ、ＧＨＭの双方に等しいから、
角ＨＫＦもＧＨＭに等しい。
ＫＨＧが
双方に加えられたとせよ。
そうすれば
角ＦＫＨ、ＫＨＧの和は
角ＫＨＧ、ＧＨＭの和に等しい。
ところが
角ＦＫＨ、ＫＨＧの和は
２直角に等しい。
ゆえに
ＫＨＧ、ＧＨＭの和も２直角に等しい。
かくて
任意の線分ＧＨに対し
その上の点Ｈにおいて
同じ側にない２線分ＫＨ、ＨＭが
接角の和を２直角に等しくする。
ゆえに
ＫＨはＨＭと一直線をなす。
そして
線分ＨＧが
平行線ＫＭ、ＦＧに交わるから、
錯角ＭＨＧ、ＨＧＦは
互いに等しい。
双方に
角ＨＧＬが加えられたとせよ。
そうすれば
ＭＨＧ、ＨＧＬの和は
角ＨＧＦ、ＨＧＬの和に等しい。
ところが
角ＭＨＧ、ＨＧＬの和は
２直角に等しい。
ゆえに
ＨＧＦ、ＨＧＬの和も
２直角に等しい。
したがって
ＦＧはＧＬと一直線をなす。
そして
ＦＫはＨＧに等しくかつ平行であり、
他方
ＨＧもＭＬに等しくかつ平行であるから、
ＫＦも
ＭＬに等しくかつ平行である。
ゆえに
ＫＦＬＭは平行四辺形である。
そして
三角形ＡＢＤは
平行四辺形ＦＨに、
ＤＢＣは
ＧＭに等しいから、
直線図形ＡＢＣＤ全体は
平行四辺形ＫＦＬＭ全体に等しい。
よって
与えられた直線図形ＡＢＣＤに等しい
平行四辺形ＫＦＬＭが
与えられた直線角Ｅに等しい角ＦＫＭのなかに
つくられた。
これが作図すべきものであった。
- この命題が、
直線図形を
指定された角におさまる
平行四辺形に
等積変形する最後の一歩である。
-
「直線図形は、
対角線を引くことで三角形に分解されるので、
四角形を題材として
準一般的に証明される。」
（以下、コメント（命題１ー４５）(直線図形の四角形による準一般的証明)という。）
-
命題１ー４４を踏まえると、
与えられた線分上に
与えられた直線図形に等しい
平行四辺形を
与えられた直線角に等しい
角のなかにつくることができる。
（以下、命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)という。）
- この命題により、
直線図形については、
面積の普遍単位に
ほとんど到着したことになる。
- 命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
- 命題1-45は作図用命題である。
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