ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー４５（優線分の分割は１通り）
　優線分は
　　ただーつの点で分けられる。

• 優線分は、
  定義の補足(命題１０ー３９)による。
• 点は、
  定義１ー１による。

　ＡＢを
　　Ｃで分けられた優線分とし，
したがって
　ＡＣ，ＣＢが平方において通約できず，
　　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和を有理面積とし，
　　矩形ＡＣ，ＣＢを中項面積とする
とせよ．

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  により、
  　線分ＡＣ、ＣＢ；
  　　ＡＣ¬∩^^2 ＣＢ
  　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  をとる。
• 　ＡＢ：ＡＣ＋ＣＢ；無理線分、優線分
  となっている。

　ＡＢは他の点で分けられない
と主張する。

もし可能ならば，
　Ｄで分けられるとし，

• 　背理法の仮定である。

したがって
　ＡＤ，ＤＢが平方において通約できず，
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和を有理面積とし，
　　矩形ＡＤ，ＤＢを中項面積とする
とせよ。

• 　コメント(命題１０ー４２助)(点対称点の除外) による。
• 　線分ＡＤ、ＤＢ；
  　　ＡＤ¬∩^^2 ＤＢ
  　　、正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＤ,ＤＢ)；中項面積
  　ＡＣ＞ＤＢ
  としている。

　ＡＣ，ＣＢ上の正方形と
　　ＡＤ，ＤＢ上の正方形との差は
　　　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍と
　　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍との差に等しく，
　　　　　　[......(１)]

• 　命題２ー４（２分線分上の正方形）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　ー｛正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)｝
  　　　＝２矩形(ＡＤ,ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  となっている。

他方
　ＡＣ，ＣＢ上の正方形の和と
　ＡＤ，ＤＢ上の正方形の和は
　　共に有理面積である

• 　命題の設定、
  　定義の補足(命題１０ー３９)(優線分)
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)；有理面積
  となっている。

から，
　その差は有理面積である。

• 　前節、
  　定義１０ー４の補足 （有理面積、無理面積）
  　命題１０ー１５（通約量はその和・差とも通約）
  による。
  
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)
  　　ー｛正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)｝;有理面積
  となっている。

したがって
　矩形ＡＤ，ＤＢの２倍は
　　矩形ＡＣ，ＣＢの２倍より，
　　共に中項面積であるのに
　　有理面積だけ大きい。

• 　前節、
  　（１）、
  　命題１０ー２６（中項面積の差は無理面積）
  による。
• 　２矩形(ＡＤ,ＤＢ)ー２矩形(ＡＣ,ＣＢ)
  　　；無理面積
  　　；有理面積
  となっている。

これは不可能である。
したがって
　優線分は異なった２点で分けられない。
よって
　ただ一つの点で分けられる。

• 　背理法による。
• 　優線分ＡＢの分点は１つ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー４５は、
  　ＡＢ；優線分
  　　点Ｃ(ＡＢ)
  　　　ＡＣ∩^^2 ＣＢ
  　　　、正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)；有理面積
  　　　、矩形(ＡＣ,ＣＢ)；中項面積
  をとると、
  　本質的に分割点はＣのみ
  のことである。
• 命題１０ー４５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-39)
  公準
  公理		1-3
  命題	10-33	2-4,10-5,10-26
  その他		コ(題10-42助)

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