ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論
　
第７巻

□定義
＜相似＞
定義７ー１（単位）
　 単位とは
　存在するもののおのおのが
　それによって１［つ］とよばれるものである。

• いろいろな単位があって、
  　ある単位の観点から、
  　１つのものと見られるということである。

　
定義７ー２（数）
　 数とは
　単位からなる多である。

• 単位が集まったもの
  　ということである。
  単位そのもの
  　すなわち
  　１は数とは見なさない
  　というのが原論の立場である。
  
• 単位を線分ＡＢで表すことにすれば、
  　数ｎは線分ＡＢのｎ個分と作図される。
  （以下、命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)という。）
  なぜなら、
  　その数ｎは、
  　公準１ー２（作図.直線の延長）により
  　ＡＢを半直線ＡＢ’に延長し、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）により
  　ＢＢ’上にＢ2を
  　ＢＢ2がＡＢに等しくなるようにとり、
  　さらに
  　これを繰り返し
  　命題１ー３の補足により
  　Ｂn-1Ｂ’上にＢnを
  　Ｂn-1ＢnがＡＢに等しくなるようにとったとき
  　ＡＢnによって表される。
  

定義７ー３(約数・等分(数))
小さい数が大きい数を割り切るとき、
　小さい数は
　大きい数の約数[あるいは等分(数)]である。

• 　「ＡはＢの等分」と表現する場合、
  　「Ｂを等分したもの(約数)Ａ」という意味
  と、
  　「ｎ等分(１／ｎ＝Ａ／Ｂ)」という意味
  という意味をあわせてもっている。
  英文では、どちらも
  　a part
  と表現される。
  Euclid's Elements
  （Clark University Professor D.E.Joyceの
  http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
  においては、
  To illustrate VII.Def.3,
  take 2, which is a part of 6,
  namely,
  the one-third part of 6.
  とコメントされている。
  今日でいう
  　「単位分数」
  のことである。
  本解説では、
  　数としての意味を強調する前者を約数・等分数、
  　割合・２項関係(ｎ分の１)を強調する後者を等分
  として可能な限り区別する。
  
• 割り切るは、
  　定義５ー１の補足２ （割り切る） による。
  
• 　上記の割り切るの定義、
  　公理１ー８の補足（小さいの定義）
  　により、
  　数が別の数を割り切る
  ならば、
  　前者は後者より小さい。
  （以下、命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）という。）
• 単位以外に、
  　約数の分だけの単位の集まりも
  　新たな単位になりうるということでもある。
  そうすれば、
  　より小さい数で表現できる
  　すなわち、
  　簡約するための数
  　という意味で
  　約数と言われている。
  もちろん、
  　簡約された結果の数
  　でもある。
  

　
定義７ー４（等分和(数)）
割り切らないときには
　《約数和》[等分和数]である。

• 等分和(数)とは、
  　定義としては、
  　等分されたものがいくつか集まっているもの
  　という意味である。
  すなわち、
  　等分のいくつか分である。
  　運用上、１個の場合も含める。
  Euclid's Elements
  （Clark University Professor D.E.Joyceの
  http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
  　においては、
  　But parts when it does not measure it.
  　と、“parts”となっている。
  単位分数1/5（fifth）に対して、
  　2/5（two　fifths）という
  　感覚である。
  本解説では、
  　数としての意味を強調する前者を等分和数、
  　割合・２項関係(ｎ分の１)を強調する後者を等分
  として可能な限り区別する。
  
• どんな数でも、
  　それを割り切るものがある
  　というのを前提としている。
  すなわち、
  　単位がそれである。
  
• 小さい数が
  　大きい数の等分数の和となっている
  　場合だけでなく
  等分和数は、
  大きい数が
  　小さい数の等分数の和となっている場合
  さらに
  　小さい数自体の和(倍数)となっている場合
  も含めている。
  （以下、定義７ー４の補足 （等分数和・倍数）という。）
  例えば
  　定義７ー２１（比例）により
  　２：３＝４：６が
  　比例として定義される
  ためには
  　上記のように
  　設定されねばならない。
  

　
定義７ー５（倍数）
そして
　大きい数が小さい数によって割り切られるとき、
　大きい数は
　小さい数の倍数である。

• 小さい数を
  　何倍かした結果得られる数
  　という意味である。
  
• 定義の補足（命題５ー１） における
  　（同じ）倍数は、
  　第７巻における（等しい）商である。
  （定義７ー８の補足 を参照のこと。）
  今後、
  　この意味の場合は、
  商としての倍数 という。
  （以下、定義７ー５の補足（商としての倍数）という。）

　
定義７ー６（偶数）
偶数とは
　２等分される数である。

• 今日的には、
  　２で割り切れる数とされる。

　
定義７ー７（奇数）
奇数とは
　２等分されない数、
　または
　偶数と単位だけ異なる数である。

• 今日的には、
  　２で割って１余る数とされる。
  

　
定義７ー８（偶数倍の偶数）
偶数倍の偶数とは
　偶数で割られて
　商が偶数になる数である。

• 商とは、
  　割る数が、
  　割られる数のなかに、
  　何個分あるかということである。
  したがって、
  　割る数に商の数を掛けると
  　割られる数になる
  ので、
  　商が等しいならば
  　同じ比をもつ。
  （以下、定義７ー８の補足（商）という。）
• 　１２は
  　２×６
  とすれば
  　偶数倍の偶数（の表現）である
  が、
  　４×３
  とすれば
  　偶数倍の奇数（の表現）である。
  
  １６は
  　２×８
  　４×４
  と、
  　偶数倍の偶数（の表現）のみである。
  
  　命題９ー３２を
  　参照のこと。
  

　
定義７ー９（偶数倍の奇数）
偶数倍の奇数とは
　偶数で割られて
　商が奇数になる数である。

• 　６０は
  　２０×３
  　４×１５
  　１２×５
  とすれば
  　偶数倍の奇数の表現であるが、
  　１０×６
  　３０×２
  とすれば
  　偶数倍の偶数の表現である。
  

　
定義７ー１０（奇数倍の偶数）
奇数倍の偶数とは
　奇数で割られて
　商が偶数になる数である。

• 場合分けにおいては、
  　この定義の必要性が感じられるが、
  　命題７ー１６（積の可換性）
  により、
  　定義７ー９（偶数倍の奇数）
  　と同じであるから
  　不要な定義である。
  おそらく、
  　後世の解説者の追加であろう。
  

　
定義７ー１１（奇数倍の奇数）
奇数倍の奇数とは
　奇数で割られて
　商が奇数になる数である。

• 定義７ー１６の補足２にしたがえば、
  ２で１回も割り切れないもので、
  　かつ
  　２つの数の積で表せるものである。
  定義７ー１４ にしたがえば、
  　２の倍数でない合成数である。
  

　
定義７ー１２（素数）
素数とは
　単位によってのみ
　割り切られる数である。

• 今日的には、
  　単位は
  　素数ではない
  　とされる。
  最小の素数は、
  　２である。
  以下、
  　３、５、７、１１、１３・・・
  　である。

　
定義７ー１３（互いに素）
互いに素である数とは
　共通の尺度としての単位によってのみ
　割り切られる数である。

• 　３つ以上の数
  についても、同様に、
  　互いに素という。
  
• 共通の尺度は、
  　すべての数にとっての
  　共通の尺度ということであり、
  　したがって、
  　単位のことである。

　
定義７ー１４（合成数）
合成数とは
　何らかの数によって
　割り切られる数である。

• もちろん、
  　単位・その数自身
  　以外の数によって割り切られる
  　数である。
  

　
定義７ー１５（互いに合成的な数）
互いに合成的な（素でない）数とは
　共通な尺度としての何らかの数によって
　割り切られる数である。

• ここでの共通な尺度とは、
  　考察の対象となっている
  　２つの数についての
  　共通な尺度である。
  もちろん
  　単位以外の数である。

　
定義７ー１６（かける）
数を数にかけるといわれるのは
　先の数のなかにある単位の数と
　同じ回数だけ
　かけられる数が加え合わされて
　何らかの数が生ずるときである。

• 　Ａ×Ｂ
  　;＝個数ａ(Ａ,単位)×Ｂ
  　＝個数(Ａ×Ｂ,Ｂ)×Ｂ
  となっている。
• 回数という表現が
  　ここで初めて登場する。
  回数 とは、
  　１回、２回と
  　数えることができる
  　量における大きさである。
  （以下、定義７ー１６の補足（回数）という。）
• 前者の数がかける数であり、
  　後者の数がかけられる数である。
  
• 単位のかけられる数に対する比と
  　単位のかける数に対する比とを
  　考えると、
  　定義５ー６（比例）により
  　かけた結果は、
  　比のかけあわせ（合成、積）である。
  よって、
  　数をかけた結果を積 という。
  （以下、定義７ー１６の補足２（積）という。）
• 定義５ー１の補足２（割り切る）により、
  ＡをＢにかけてできるＣについては、
  ＢがＣを割り切る。
  （以下、命題の補足３（定義７ー１６）（かけられた数が積を割り切る）という。）
  
• 定義５ー１の補足２（割り切る）により、
  ＡがＢを割り切った商に等しい
  　個数の単位がＣのなかにあるとき、
  　ＣをＡにかけるとＢになる。
  
  （以下、命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）という。）
  
• 　定義７ー１６（加える）、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　等しい数を等しい数にかける
  と
  　等しい数になる。
  
  (以下、公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）という。)
  
• 　大きい(小さい)数をかけると大きい（小さい)。 (以下、公理の補足６（定義７ー１６） (大きい(小さい)数をかけると大(小))という。)
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  
  　Ｂ＞Ｃ
  とすると、
  　定義７ー２（数）
  により、
  　数Ｄがあって、
  　Ｂ＝Ｃ＋Ｄ
  となっている。
  　数Ａにかけると、
  　公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）
  により、
  　Ｂ×Ａ＝（Ｃ＋Ｄ）×Ａ
  となり、
  　命題５ー２（同数倍の和２）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　Ｂ×Ａ＝Ｃ×Ａ＋Ｄ×Ａ
  となり、
  　公理１ー８（大きい）
  により
  　Ｂ×Ａ＞Ｃ×Ａ
  となる。
  
  　小さい数をかけると小さい
  も同様に証明される。
• 　大きい(小さい)数にかけると大きい（小さい)。 (以下、公理の補足７（定義７ー１６） (大きい(小さい)数にかけると大(小))という。)
  なぜなら、
  　以下の通りである。
  
  　Ｂ＞Ｃ
  とすると、
  　定義７ー２（数）
  により、
  　数Ｄがあって、
  　Ｂ＝Ｃ＋Ｄ
  となっている。
  　数Ａをかけると、
  　公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）
  により、
  　Ａ×Ｂ＝Ａ×（Ｃ＋Ｄ）
  となり、
  　命題５ー１（同数倍の和１）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　Ａ×Ｂ＝Ａ×Ｃ＋Ａ×Ｄ
  となり、
  　公理１ー８の補足（小さい）
  により
  　Ａ×Ｂ＞Ａ×Ｃ
  となる。
  
  　小さい数にかけると小さい
  も同様に証明される。
• 　２乗が等しい
  ならば
  　もとの数は等しい。
  (以下、命題の補足８（定義７ー１６） (２乗が等しいなら元の数も等しい)という。)
  
  なぜならば、
  　以下の通りである。
  　背理法の仮定
  として、
  　もとの数が等しくない
  ならば、
  　公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小)
  により、
  　一方が大きく、一方が小さい。
  　大きい数をＡ、小さい数をＢ
  とすると、
  　公理の補足６（定義７ー１６）(大きい(小さい)数をかけると大(小))
  により
  　Ａ^2＞Ａ×Ｂ
  となり、
  　公理の補足７（定義７ー１６）(大きい(小さい)数にかけると大(小))
  により
  　Ａ×Ｂ＞Ｂ^2
  となる。
  　前節、前々節
  　公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
  により、
  　Ａ^2＞Ｂ^2
  となるので、
  　前提に矛盾する。
• 　大きい(小さい)数どうしの積は大きい(小さい)。
  (以下、公理の補足９（定義７ー１６） (大きい(小さい)数の積は大きい(小さい))という。)
  
  なぜならば、
  　以下の通りである。
  
  　Ａ＞Ｂ、Ｃ＞Ｄ
  とすると、
  　公理の補足６（定義７ー１６） (大きい(小さい)数をかけると大(小))
  　Ａ×Ｃ＞Ｂ×Ｃ
  　公理の補足７（定義７ー１６）(大きい(小さい)数にかけると大(小))
  　Ｂ×Ｃ＞Ｂ×Ｄ
  　Ａ×Ｃ＞Ｂ×Ｄ
  　小さい数どうしの積は小さい
  も同様に証明される。
• 　等しい数を
  　　等しい数で割り切った
  　　商は等しい。
  (以下、公理の補足１０（定義７ー１６） (商の一意性)という。)
  なぜなら、
  背理法の仮定として、
  　商が等しくない
  とすると、
  　一方が大きく、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）、
  　公理の補足９（定義７ー１６）(大きい(小さい)数の積は大きい(小さい))
  により、
  　割られる数の一方が大きくなり、
  　等しいという設定と矛盾するから。
  数Ｍを線分ＡＢで表すことにすれば、
  　数Ｍのｎ倍は線分ＡＢのｎ個分と作図される。
  （以下、命題の補足１１（定義７ー１６）(作図.数Ｍのｎ倍)という。）
  なぜなら、
  　数Ｍのｎ倍は、
  　公準１ー２（作図.直線の延長）により
  　ＡＢを半直線ＡＢ’に延長し、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）により
  　ＢＢ’上にＢ2を
  　ＢＢ2がＡＢに等しくなるようにとり、
  　さらに
  　これを繰り返し
  　命題１ー３の補足により
  　Ｂn-1Ｂ’上にＢnを
  　Ｂn-1ＢnがＡＢに等しくなるようにとったとき
  　ＡＢnによって表される。
  

　
定義７ー１７（平面数）
２つの数が
　互いにかけあわせて
　何らかの数をつくるとき、
　その積は
　平面数であり、
　その辺は
　互いにかけあわせた数である。

• ここにいう辺は、
  　平面数における辺で
  　互いにかけあわせた数のことある。
  (以下、定義７ー１７の補足 （辺(平面数)）という。)
  図形的には、
  　平面数は
  　単位の倍数の
  　辺をもつ長方形で表現される。
  今日的には、
  　この長方形の面積となる数である。
  

　
定義７ー１８（立体数）
３つの数が
　互いにかけあわせて何らかの数をつくるとき、
　その積は
　立体数であり、
　その辺は
　互いにかけあわせた数である。

• ここにいう辺は、
  　立体数における辺で
  　互いにかけあわせた数のことある。
  (以下、定義７ー１８の補足 （辺(立体数)）という。)
  図形的には、
  　単位の倍数の
  　辺をもつ直方体で表現される。
  今日的には、
  　この直方体の体積となる数である。
  

　
定義７−１９（平方数）
平方数とは
　等しい数に等しい数をかけたもの、
　すなわち
　２つの等しい数の積である。

• 　２乗 ともいい、
  　数のなかにある単位の数と
  　同じ回数だけ
  　その数が加え合わされたもの
  である。
  （以下、定義７ー１９の補足 （２乗）という。）
  
• 　正方形で表現される。
  

　
定義７−２０（立方数）
立方数とは
　等しい数に等しい数をかけ、
　さらに
　等しい数をかけたもの、
　すなわち
　３つの等しい数の積である。

• 　３乗 ともいい、
  　数のなかにある単位の数と
  　同じ回数だけ
  　その数が加え合わされたものを
  　さらに
  　その同じ回数だけ
  　加え合わされたもの
  である。
  （以下、定義７ー２０の補足 （３乗）という。）
  
• 　立方体で表現される。
  

　
定義７−２１（比例）
　第１の数が第２の数の、
　第３の数が第４の数の
　同じ［商としての］倍数である
　[(後項で前項を割った商が等しい)]
か、
　同じ約数である
　[(前項で後項を割った商が等しい)]
か、または
　同じ約数和である
とき、
　それらの数は
　比例する。

• 同じ倍数である場合は、
  　第２、第４の数に
  　商としての倍数をかけると
  　それぞれ第１、第３の数に等しい。
  同じ約数である場合は、
  　第１、第３の数に
  　商としての倍数をかけると
  　それぞれ第２、第４の数に等しい。
  同じ約数和（約数のｎ個分）である場合は、
  　第１、第３の数に商としての倍数をかけ、
  　第２、第４の数にｎをかけると、
  　それぞれ等しい。
  定義５ー５ にそっている。
  
• 　第１数：第２数と第３数：第４数とが
  　比例していて、
  　第１数が第２数を割り切らない
  ならば、
  　第３数は第４数を割り切らない。
  
  (以下、命題の補足（定義７ー２１）（比例で割り切らない）という。)
  なぜなら、
  　定義７−２１（比例）
  により、
  　比例は
  　同じ倍数か、同じ等分和
  となり、
  　定義７ー３(約数・等分(数))
  　定義７ー４（等分和(数)）
  であるから。
  
• 商としての倍数は、 定義７ー５の補足 による。

　
定義７−２２（相似な平面数・立体数）
相似な平面数
　および
　立体数とは
　比例する辺をもつ数である。

• ２つの数が
  　相似な平面数であるとは、
  　それぞれの対応する辺が
  　比例している場合である。
  すなわち、
  　平面数を
  　長方形で表現したとき、
  　２つの長方形が
  　相似となる場合である。
  相似な立体数も
  　同様である。
  

　
定義７−２３（完全数）
完全数とは
　自分自身の約数の和に等しい数である。

• 完全数の例としては、
  　６＝１＋２＋３
  　２８＝１＋２＋４＋７＋１４
  　である。
  その後の完全数は、
  　４９６、８１２８、３３５５０３３６、・・・
  　となっている。
  

　

• 命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-2
  公理
  命題	1-3補
  その他

• 命題の補足（定義７ー３）（割り切る数は小さい）

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2
  公準
  公理		1-8補
  命題
  その他

• 命題の補足３（定義７ー１６）（かけられた数が積を割り切る）

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題の補足８（定義７ー１６） (２乗が等しいなら元の数も等しい)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理		1-7補,1-8補3,補6(義7-16),補7(義7-16)
  命題
  その他		背理法

• 命題の補足１１（定義７ー１６）(作図.数Ｍのｎ倍)

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-2
  公理
  命題	1-3補
  その他

• 命題の補足（定義７ー２１）（比例で割り切らない）

  前提	作図	推論
  定義		7-3,7-4,7-21
  公準
  公理
  命題
  その他

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