ユークリッド原論をどう読むか（９513）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー１３（大きい比に同じ比は大きい）
（大きい比より大きい比は大きい）
（小さい比に同じ比は小さい）
（小さい比より小さい比は小さい）
（異なる比に同じ比は異なる）
もし
第１の量が第２に対し、
第３が第４に対すると同じ比をもち、
第３が第４に対し、
第５が第６に対するより大きい比をもつ
ならば、
第１は第２に対し、
第５が第６に対するより大きい比をもつであろう。
第１の量Ａが
第２のＢに対し、
第３のＣが第４のＤに対すると
同じ比をもち、
第３のＣが
第４のＤに対し、
第５のＥが第６のＦに対するより
大きい比をもつようにせよ。
-
同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は
コメント２（命題５ー４）参照のこと。
-
命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
により量の倍を作図することで、
Ａ：Ｂ、Ｃ：Ｄ、Ｅ：Ｆ'が
同じ比をもつようにし、
命題５ー８（量の大小と比の大小）
により、
Ｆ'より小さいＦを作図する。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
Ｃ：Ｄ＞Ｅ：Ｆ
をとっている。
第１のＡが
第２のＢに対し、
第５のＥが第６のＦに対するより
大きい比をもつであろう
と主張する。
Ｃ、Ｅの《任意の》［ある］同数倍と
Ｄ、Ｆの別の《任意の》［ある］同数倍とがあり、
Ｃの倍量がＤの倍量より大きく、
Ｅの倍量がＦの倍量より大きくない
ようにすることができるから、
そのような倍量がとられたとし、
Ｃ、Ｅの同数倍をＧ、Ｈとし、
Ｄ、Ｆの別の《任意の》［ある］同数倍をＫ、Ｌとし、
ＧがＫより大きく、
ＨがＬより大きくないとせよ。【・・・(a)】
そして、
ＧがＣの何倍であろうと、
ＭもＡの同じ倍数であり、
ＫがＤの何倍であろうと、
ＮもＢの同じ倍数である
ようにせよ。【・・・(b)】
- 推論の設定である。
- 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
による。
-
Ｍ＝倍数(Ｇ,Ｃ)×Ａ＝ｍＡ、
Ｎ＝倍数(Ｋ,Ｄ)×Ｂ＝ｎＢ
をとっている。
そうすれば、
ＡがＢに対するように、
ＣがＤに対し、
- 命題の設定
による。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
となっている。
そして
Ａ、Ｃの同数倍Ｍ、Ｇと、
Ｂ、Ｄの別の《任意の》［ある］同数倍Ｎ、Ｋがとられたから、
もし
ＭがＮより大きければ、
ＧもＫより大きく、
等しければ、
等しく、
小さければ、
小さい。【・・・(1)】
- 定義５ー５（同じ比）
による。
-
Ｍ(;＝ｍＡ)(＜、＝、＞)Ｎ(;＝ｎＢ)
ならば、
Ｇ(;＝ｍＣ)(＜、＝、＞)Ｋ(;＝ｎＤ)
となっている。
ところが
ＧはＫより大きい。
- (a)
による。
-
Ｇ(;＝ｍＣ)＞Ｋ(;＝ｎＤ)
となっている。
それゆえ
ＭもＮより大きい。
- (1)
によれば、
ＭがＮより大きければ、
ＧもＫより大きいということで、
その逆ではない。
しかし、
命題５ー１１の補足（同じ比は互いに同じ）
により、
ＧがＫより大きければ、
ＭもＮより大きいことがわかる。
-
Ｍ(;＝ｍＡ)＞Ｎ(;＝ｎＢ)
となっている。
ところが
ＨはＬより大きくない。
- (a)
による。
-
Ｈ(;＝ｍＥ)＜＝Ｌ(;＝ｎＦ)
となっている。
そして
Ｍ、ＨはＡ、Ｅの同数倍、
Ｎ、ＬはＢ、Ｆの別の《任意の》［ある］同数倍である。
- (b)
による。
- 《任意の》［ある］は、コメント２（命題５ー８）参照のこと。
-
倍数(Ｍ,Ａ)＝倍数(Ｈ,Ｅ)＝ｍ、
倍数(Ｎ,Ｂ)＝倍数(Ｌ,Ｆ)＝ｎ
となっていて、
さきに、
Ｍ(;＝ｍＡ)＞Ｎ(;＝ｎＢ)
Ｈ(;＝ｍＥ)＜＝Ｌ(;＝ｎＦ)
となっていた。
ゆえに
ＡはＢに対し
ＥがＦに対するより
大きい比をもつ。
- 定義５ー５（同じ比）
による。
-
Ａ：Ｂ＞Ｅ：Ｆ
となっている。
よってもし
第１の量が第２に対し、
第３が第４に対すると
同じ比をもち、
第３が第４に対し、
第５が第６に対するより
大きい比をもつならば、
第１は第２に対し、
第５が第６に対するより
大きい比をもつであろう。
これが証明すべきことであった。
-
大きい比より大きい比は大きい。
以下、命題５ー１３の補足（大きい比より大きい比は大きい）という。
Ａ：Ｂ＞Ｃ：Ｄ、Ｃ：Ｄ＞Ｅ：Ｆとする。
定義５ー７（大きい比）
により
ある倍数（個数）ｍ、ｍ'があって、
ｍＡ＞ｍ'ＢかつｍＣ＜＝ｍ'Ｄ
また、
ある倍数ｎ、ｎ'があって、
ｎＣ＞ｎ'ＤかつｎＥ＜＝ｎ'Ｆ
定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）、
公理１ー４の補足３（大きい（小さい）ものどうしを加える）
により
ｍｎ'Ａ＞ｍ'ｎ'Ｂかつｍｎ'Ｃ＜＝ｍ'ｎ'Ｄ
ｍ'ｎＣ＞ｍ'ｎ'Ｄかつｍ'ｎＥ＜＝ｍ'ｎ'Ｆ
【・・・(2)】
ここで、
ｍｎ'Ｃ＜＝ｍ'ｎ'Ｄ、
ｍ'ｎＣ＞ｍ'ｎ'Ｄであるから
ｍ'ｎはｍｎ'より大きい倍数であるので、
ｍ'ｎＡ＞ｍｎ'Ａ。
ｍｎ'Ａ＞ｍ'ｎ'Ｂであったから
公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
により
ｍ'ｎＡ＞ｍ'ｎ'Ｂ。
また(2)
より
ｍ'ｎＥ＜＝ｍ'ｎ'Ｆ
したがって、
定義５ー７（大きい比）
より
Ａ：Ｂ＞Ｅ：Ｆ
- 命題５ー１３の補足は、
Ａ：Ｂ＞Ｃ：Ｄ、Ｃ：Ｄ＞Ｅ：Ｆ
なら
Ａ：Ｂ＞Ｅ：Ｆ
のことである。
-
小さい比に同じ比は小さい
(以下、命題５ー１３の補足２（小さい比に同じ比は小さい）という。)
ことがわかる。
Ａ：Ｂ＜Ｃ：Ｄ、
Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ
とする。
背理法の仮定として、
Ｅ：Ｆ＝Ｃ：Ｄ
とすると、
命題５ー１１（同一の比に同じ比）、
により
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
となって前提に矛盾する。
また、
背理法の仮定として、
Ｅ：Ｆ＞Ｃ：Ｄ
とすると、
本命題５ー１３（大きい比に同じ比は大きい）
により、
Ａ：Ｂ＞Ｃ：Ｄ
となって前提に矛盾する。
背理法により、
¬（Ｅ：Ｆ＝Ｃ：Ｄ）、
¬（Ｅ：Ｆ＞Ｃ：Ｄ）、
公理の補足３（定義５ー７）(比は等か大か小)
により
Ｅ：Ｆ＜Ｃ：Ｄ
となる。
同様に
小さい比より小さい比は小さい。
(以下、命題５ー１３の補足３（小さい比より小さい比は小さい）という。)
Ａ：Ｂ＜Ｃ：Ｄ、
Ｅ：Ｆ＜Ａ：Ｂ
とする。
背理法の仮定として、
Ｅ：Ｆ＝Ｃ：Ｄ
とすると、
命題５ー１３（大きい比に同じ比は大きい））、
により
Ａ：Ｂ＜Ｅ：Ｆ
となって前提に矛盾する。
また、
背理法の仮定として、
Ｅ：Ｆ＞Ｃ：Ｄ
とすると、
命題５ー１３の補足（大きい比より大きい比は大きい）
により、
Ａ：Ｂ＜Ｅ：Ｆ
となって前提に矛盾する。
背理法により、
¬（Ｅ：Ｆ＝Ｃ：Ｄ）、
¬（Ｅ：Ｆ＞Ｃ：Ｄ）、
公理の補足３（定義５ー７）(比は等か大か小)
により
Ｅ：Ｆ＜Ｃ：Ｄ
となる。
また、
本命題５ー１３（大きい比に同じ比は大きい）、
命題５ー１３の補足２（小さい比に同じ比は小さい）、
公理の補足３（定義５ー７）(比は等か大か小)
により、
異なる比に同じ比は異なる。
(以下、命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）という。)
- 命題５ー１３は、
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ、Ｃ：Ｄ＞Ｅ：Ｆ
なら
Ａ：Ｂ＞Ｅ：Ｆのことである。
-
命題５ー１３の補足（大きい比より大きい比は大きい）は推論用命題である。
-
命題５ー１３の補足２（小さい比に同じ比は小さい）
-
命題５ー１３の補足３（小さい比より小さい比は小さい）
-
命題５ー１３の補足４（異なる比に同じ比は異なる）
- 命題５ー１３は推論用命題である。
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