ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻

命題７ー１（互除法１）
（倍数の倍数、約数の約数）
（倍数の和・差は倍数）
「・・・するものとし」
「数（について）・・・とせよ」
「準一般の一般化２」
(数を減じるのは有限回)
２つの不等な数が定められ、
　常に大きい数から
　小さい数が引き去られるとき、
　もし
　単位が残されるまで、
　残された数が
　自分の前の数を割り切らないならば、
　最初の２数は
　互いに素であろう。

• 不等は、 定義の補足（公理１ー４） による。
• 数は、 定義７ー２ による。
• 大きいは、 公理１ー８ による。
• 小さいは、 公理１ー８の補足 による。
• 単位は、 定義７ー１ による。
• 割り切らは、 定義５ー１の補足２ による。
• 互いに素は、 定義７ー１３ による。

２つの不等な数ＡＢ、ＣＤのうち
　常に大きい数から
　小さい数が引き去られるとき、
　単位が残されるまで、
　残された数が
　自分の前の数を割り切らないとせよ。

• 任意の数自体は
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により
  　作図可能であるが、
  　命題にいう数は
  　その条件の当てはまる数を描いて
  　考察について
  　可能な範囲で一般的に行う
  　ということになる。
  以下、 コメント４（命題７ー１）(数（について）…とせよ)という。
  図は、
  　ＡＢ＝１１、ＣＤ＝８である。
• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
• 　数ＡＢ、ＣＤ、ＡＢ＞ＣＤ
  に対して、
  　Ｈ1＝Ｂ、Ｇ1＝Ｄ、
  　点Ｈi+1(ＡＨi;;ＡＨi+1＝mod(ＡＨi,ＣＧi))、
  　点Ｇi+1(ＣＧi;;ＣＧi+1＝mod(ＣＧi,ＡＨi+1))
  を順にとれば、
  　(ＡＧn or ＣＨn)＝１
  となるｎがある。

ＡＢ、ＣＤは互いに素である、
　すなわち
　単位のみがＡＢ、ＣＤを割り切る
　と主張する。
　
もし
　ＡＢ、ＣＤが互いに素でないならば、

• 背理法の仮定を述べようとしている。
• 　ＡＢ¬(互いに素)ＣＤ
  と仮定している。

　 何らかの数が
　それらを割り切るであろう。

• 定義７ー１３（互いに素）
  による。

割り切るとし、

• 実際は割り切る数(２以上)はないが、
  　あるものとして推論するという
  　意味である。
  （以下、コメント３(命題７ー１） (…するものとし)という。）

　それをＥとせよ。 【・・・(a)】

• 背理法の仮定による設定である。
  もちろん、
  　Ｅは単位ではなくて、
  　２以上である。
• 　(Ｅ;¬単位)
  　　;Ｅ｜(ＡＢ、ＣＤ)
  と仮定している。

ＣＤが
　ＢＦを割り切り、
　自分より小さいＦＡを残すとし、

• 自分より大きいものが残っていれば、
  　さらに、
  　量りとればよい。
  公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  により、
  　どんなに大きな数ＡＢに対しても、
  　ＣＤの倍数ＢＦをとって、
  　ＣＤより小さいＡＦを
  　残すだけにできる。
  残るものがなければ、
  　ＡＢはＣＤの倍数となっており、
  　命題の設定に反する。
  
• 　Ｈ2＝Ｆ、
  　ＣＤ｜ＢＦ
  　ＦＡ＜ＣＤ
  となっている。

　 ＡＦが
　ＤＧ[']を割り切り
　自分より小さいＧ[2]Ｃを残すとし、
　Ｇ[2]Ｃが
　ＦＨ[']を割り切り
［自分より小さいＡＨ3を残すとし、
　・・・
　ＡＨiが
　Ｇi-1Ｇiを割り切り
　自分より小さいＣＧiを残すとし、
　ＣＧiが
　ＨiＨi+1を割り切り、
　自分より小さいＡＨi+1を残すとし、
　・・・］
　単位Ｈ[n]Ａを残すとせよ。 【・・・(b)】

• 図、論証ともに
  　準一般的な証明による。
  準一般的な証明は、
  　コメント２（命題５ー１）参照のこと。
  ここでの
  準一般的な証明の一般化の方法は、
  　コメント５（命題５ー１）のような
  　同じ操作を必要な回数だけ増やすことによるのではなく、
  　一まとまりの同じ操作で、
  　残る数量を小さく逐次指定することにより、
  　有限回で操作が完了するという
  　一般化である。 (以下、コメント５(命題７ー１) (準一般の一般化２)という。)
  　下の命題７ー１の補足６(数を減じるのは有限回)
  による。
• 　数から数を繰り返し減じる操作は
  　少なくとも最初に減じられる数の
  　回数で終了する。
  (以下、命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)という。)
  　定義７ー１（単位）、
  　定義７ー２（数）
  により、
  　数が単位の個数倍であるかぎり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  により、
  　１回の操作で
  　少なくとも単位だけは減少する
  からである。
  
• 　ＡＨi｜Ｇi-1Ｇi、
  　　ＣＧi＜ＡＨi、
  　ＣＧi｜ＨiＨi+1、
  　　ＡＨi+1＜ＣＧi、
  　・・・
  　ＡＨn;単位
  となっている。

そうすれば
　ＥがＣＤを割り切り、
　ＣＤがＢＦを割り切るから、

• 　(a) 、前々節による。
• 　Ｅ｜ＣＤ、
  　ＣＤ｜ＢＦ
  となっている。

　ＥもＢＦを割り切る。

• 定義７ー２（数）
  により、
  　数は単位の倍量であるから、
  命題５ー３の補足（倍量の倍量は倍量）
  により、
  小さい数（基準とする大きさ）が何であろうと、
  　それについて
  　倍数の倍数は、
  　もとの数の倍数である。
  したがって
  　約数の約数は、
  　元の数の約数である。
  （以下、命題７−１の補足 （倍数の倍数、約数の約数）という。）
• 　Ｅ｜ＢＦ
  となっている。

ところが
　 ＥはＢＡ全体をも割り切る。

• 　(a)による。
• 　Ｅ｜ＢＡ
  となっている。

それゆえ
　残りのＡＦをも割り切るであろう。 【・・・(1)】

• 定義７ー２（数）
  により、
  　数は単位の倍量であるから、
  命題５ー２の補足（倍量の和は倍量）、
  命題５ー６の補足（倍量の差は倍量）
  により、
  　 小さい数（基準とする大きさ）が何であろうと、
  　それについて
  　任意の倍数と別の任意の倍数との和・差は、
  　もとの数の倍数であるか等しい。
  （以下、命題７−１の補足２ （倍数の和・差は倍数）という。）
• 　Ｅ｜ＡＦ
  となっている。

ところが
　ＡＦはＤＧ[']を割り切る。
ゆえに
　ＥはＤＧ[']をも割り切る。

• 　(b)、
  命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　Ｅ｜ＤＧ'
  となっている。

ところが
　ＥはＤＣ全体をも割り切る。
したがって
　残りのＣＧ[']をも割り切るであろう。

• (a)、
  命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　Ｅ｜ＣＧ[']
  となっている。

ところが
　ＣＧ[']はＦＨ[']を割り切る。

• (b)による。
• 　ＣＧ[']｜ＦＨ[']
  となっている。

それゆえ
　ＥもＦＨ[']を割り切る。

• 命題７−１の補足 （倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　Ｅ｜ＦＨ[']
  となっている。

ところが
　ＦＡ全体をも割り切る。

• (1)による。
• 　Ｅ｜ＦＡ
  となっている。

ゆえに
［ＥはＡＨ'を割り切り、
　同様にして、
　ＥはＣＧi、ＡＨi+1を割りきり、］
　Ｅは数でありながら
　残りの単位ＡＨ[n]をも割り切るであろう。

• 原論においては、
  　単位は数ではない。
• 　前節、前々節、
  命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　Ｅ｜(ＡＨ'、ＣＧi、ＡＨi+1)、
  　Ｅ｜(ＡＨn;単位)
  となっている。

これは不可能である。

• (a)により、
  　Ｅは２以上の数であるから、
  　単位を割り切ることができない
  　という意味である。
  

したがって
　いかなる数も
　数ＡＢ、ＣＤを割り切ることはないであろう。

• 背理法による。
• 　(数Ｅ;≠単位)
  　　;¬｜(数ＡＢ、数ＣＤ)
  となっている。

よって
　ＡＢ、ＣＤは互いに素である。
これが証明すべきことであった。

• 命題７ー１は、
  　数ＡＢ、ＣＤ、ＡＢ＞ＣＤ
  に対して、
  　ＡＢ1;＝ＡＢ、ＣＤ1;＝ＣＤ、
  　ＡＢi＝mod(ＡＢi-1,ＣＤi-1)、
  　ＣＤi＝mod(ＣＤi-1,ＡＢi)
  を順にとるとき、
  　(ＡＢn or ＣＤn)＝１
  となるｎがあるならば
  　ＡＢ(互いに素)ＣＤ
  のことである。
  
• 命題７−１の補足 （倍数の倍数、約数の約数）

  前提	作図	推論
  定義		7-2
  公準
  公理
  命題		5-3補
  その他

• 命題７−１の補足２ （倍数の和・差は倍数）

  前提	作図	推論
  定義		7-2
  公準
  公理
  命題		5-2補,5-6補
  その他

• 命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)

  前提	作図	推論
  定義		7-1,7-2
  公準
  公理
  命題	1-3
  その他

• 命題７ー１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		(7-2),7-13
  公準	1-2補
  公理
  命題	1-3,補(義7-2)	7-1補 (5-3補 ),7-1補2 (5-6補 )
  その他		背理法,コ2(題5-1),コ5(題5-1),コ3(題7-1),コ4(題7-1)

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