ユークリッド原論をどう読むか(11)
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ユークリッド原論
第7巻
命題7ー1
(互除法1)
(倍数の倍数、約数の約数)
(倍数の和・差は倍数)
「・・・するものとし」
「数(について)・・・とせよ」
「準一般の一般化2」
(数を減じるのは有限回)
2つの
不等
な
数
が定められ、
常に
大きい
数
から
小さい
数
が引き去られるとき、
もし
単位
が残されるまで、
残された
数
が
自分の前の
数
を
割り切ら
ないならば、
最初の2
数
は
互いに素
であろう。
不等は、
定義の補足(公理1ー4)
による。
数は、
定義7ー2
による。
大きいは、
公理1ー8
による。
小さいは、
公理1ー8の補足
による。
単位は、
定義7ー1
による。
割り切らは、
定義5ー1の補足2
による。
互いに素は、
定義7ー13
による。
2つの
不等
な
数
AB、CDのうち
常に
大きい
数
から
小さい
数
が引き去られるとき、
単位
が残されるまで、
残された
数
が
自分の前の
数
を
割り切ら
ないとせよ。
任意の数自体は
命題の補足(定義7ー2)
(作図.数n)
により
作図可能であるが、
命題にいう数は
その条件の当てはまる数を描いて
考察について
可能な範囲で一般的に行う
ということになる。
以下、
コメント4(命題7ー1)
(数(について)…とせよ)という。
図は、
AB=11、CD=8である。
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
による。
数AB、CD、AB>CD
に対して、
H1=B、G1=D、
点Hi+1(AHi;;AHi+1=mod(AHi,CGi))、
点Gi+1(CGi;;CGi+1=mod(CGi,AHi+1))
を順にとれば、
(AGn or CHn)=1
となるnがある。
AB、CDは
互いに素
である、
すなわち
単位
のみがAB、CDを
割り切る
と主張する。
もし
AB、CDが
互いに素
でないならば、
背理法の仮定を述べようとしている。
AB¬(互いに素)CD
と仮定している。
何らかの
数
が
それらを
割り切る
であろう。
定義7ー13
(互いに素)
による。
割り切る
とし、
実際は割り切る数(2以上)はないが、
あるものとして推論するという
意味である。
(以下、
コメント3(命題7ー1)
(…するものとし)という。)
それをEとせよ。
【・・・(a)】
背理法の仮定による設定である。
もちろん、
Eは単位ではなくて、
2以上である。
(E;¬単位)
;E|(AB、CD)
と仮定している。
CDが
BFを
割り切り
、
自分より
小さい
FAを残すとし、
自分より大きいものが残っていれば、
さらに、
量りとればよい。
公準1ー2の補足
(アルキメデスの原理)
により、
どんなに大きな数ABに対しても、
CDの倍数BFをとって、
CDより小さいAFを
残すだけにできる。
残るものがなければ、
ABはCDの倍数となっており、
命題の設定に反する。
H2=F、
CD|BF
FA<CD
となっている。
AFが
DG[']を
割り切り
自分より
小さい
G[2]Cを残すとし、
G[2]Cが
FH[']を
割り切り
[自分より
小さい
AH3を残すとし、
・・・
AHiが
Gi-1Giを
割り切り
自分より
小さい
CGiを残すとし、
CGiが
HiHi+1を
割り切り
、
自分より
小さい
AHi+1を残すとし、
・・・]
単位
H[n]Aを残すとせよ。
【・・・(b)】
図、論証ともに
準一般的な証明による。
準一般的な証明は、
コメント2(命題5ー1)
参照のこと。
ここでの
準一般的な証明の一般化の方法は、
コメント5(命題5ー1)
のような
同じ操作を必要な回数だけ増やすことによるのではなく、
一まとまりの同じ操作で、
残る数量を小さく逐次指定することにより、
有限回で操作が完了するという
一般化である。
(以下、
コメント5(命題7ー1)
(準一般の一般化2)という。)
下の
命題7ー1の補足6
(数を減じるのは有限回)
による。
数から数を繰り返し減じる操作は
少なくとも最初に減じられる数の
回数で終了する。
(以下、
命題7ー1の補足6
(数を減じるのは有限回)という。)
定義7ー1
(単位)、
定義7ー2
(数)
により、
数が単位の個数倍であるかぎり、
命題1ー3
(作図・等しい線分を切り取る)
により、
1回の操作で
少なくとも単位だけは減少する
からである。
AHi|Gi-1Gi、
CGi<AHi、
CGi|HiHi+1、
AHi+1<CGi、
・・・
AHn;単位
となっている。
そうすれば
EがCDを
割り切り
、
CDがBFを
割り切る
から、
(a)
、前々節による。
E|CD、
CD|BF
となっている。
EもBFを
割り切る
。
定義7ー2
(数)
により、
数は単位の倍量であるから、
命題5ー3の補足
(倍量の倍量は倍量)
により、
小さい数(基準とする大きさ)が何であろうと、
それについて
倍数の倍数は、
もとの数の倍数である。
したがって
約数の約数は、
元の数の約数である。
(以下、
命題7−1の補足
(倍数の倍数、約数の約数)という。)
E|BF
となっている。
ところが
EはBA全体をも
割り切る
。
(a)
による。
E|BA
となっている。
それゆえ
残りのAFをも
割り切る
であろう。
【・・・(1)】
定義7ー2
(数)
により、
数は単位の倍量であるから、
命題5ー2の補足
(倍量の和は倍量)、
命題5ー6の補足
(倍量の差は倍量)
により、
小さい数(基準とする大きさ)が何であろうと、
それについて
任意の倍数と別の任意の倍数との和・差は、
もとの数の倍数であるか等しい。
(以下、
命題7−1の補足2
(倍数の和・差は倍数)という。)
E|AF
となっている。
ところが
AFはDG[']を
割り切る
。
ゆえに
EはDG[']をも
割り切る
。
(b)
、
命題7−1の補足
(倍数の倍数、約数の約数)
による。
E|DG'
となっている。
ところが
EはDC全体をも
割り切る
。
したがって
残りのCG[']をも
割り切る
であろう。
(a)
、
命題7−1の補足2
(倍数の和・差は倍数)
による。
E|CG[']
となっている。
ところが
CG[']はFH[']を
割り切る
。
(b)
による。
CG[']|FH[']
となっている。
それゆえ
EもFH[']を
割り切る
。
命題7−1の補足
(倍数の倍数、約数の約数)
による。
E|FH[']
となっている。
ところが
FA全体をも
割り切る
。
(1)
による。
E|FA
となっている。
ゆえに
[EはAH'を割り切り、
同様にして、
EはCGi、AHi+1を割りきり、]
Eは
数
でありながら
残りの
単位
AH[n]をも
割り切る
であろう。
原論においては、
単位は数ではない。
前節、前々節、
命題7−1の補足2
(倍数の和・差は倍数)
による。
E|(AH'、CGi、AHi+1)、
E|(AHn;単位)
となっている。
これは不可能である。
(a)
により、
Eは2以上の数であるから、
単位を割り切ることができない
という意味である。
したがって
いかなる
数
も
数
AB、CDを
割り切る
ことはないであろう。
背理法による。
(数E;≠単位)
;¬|(数AB、数CD)
となっている。
よって
AB、CDは
互いに素
である。
これが証明すべきことであった。
命題7ー1
は、
数AB、CD、AB>CD
に対して、
AB1;=AB、CD1;=CD、
ABi=mod(ABi-1,CDi-1)、
CDi=mod(CDi-1,ABi)
を順にとるとき、
(ABn or CDn)=1
となるnがあるならば
AB(互いに素)CD
のことである。
命題7−1の補足 (倍数の倍数、約数の約数)
前提
作図
推論
定義
7-2
公準
公理
命題
5-3補
その他
命題7−1の補足2 (倍数の和・差は倍数)
前提
作図
推論
定義
7-2
公準
公理
命題
5-2補
,
5-6補
その他
命題7ー1の補足6 (数を減じるのは有限回)
前提
作図
推論
定義
7-1
,
7-2
公準
公理
命題
1-3
その他
命題7ー1
は推論用命題である。
前提
作図
推論
定義
(
7-2
),
7-13
公準
1-2補
公理
命題
1-3
,
補(義7-2)
7-1補
(
5-3補
),
7-1補2
(
5-6補
)
その他
背理法,
コ2(題5-1)
,
コ5(題5-1)
,
コ3(題7-1)
,
コ4(題7-1)
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