ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻�U
　
命題１０ー４９（作図.第２の二項線分 ）
　第２の二項線分を見いだすこと。

• 第２の二項線分は、
  定義１０�Uー２による。

　二つの数ＡＣ、ＣＢが定められ、
　　それらの和ＡＢが
　　　ＢＣに対し、
　　　　平方数が平方数に対する比をもち、
　　　ＡＣに対し、
　　　　平方数が平方数に対する比をもたない
とし、

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）参照のこと。
• 　命題１０ー２９助ａの補足(作図.差が平方数でない２平方数)
  により、
  　ＡＢ、ＢＣ'をとり、
  　点Ｃ(ＡＢ;ＢＣ＝ＢＣ')
  をとっている。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている

　有理線分Ｄが定められ、

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分)
  による。
• 　線分Ｄ(;有理線分)
  となっている。

　ＥＦがＤと長さにおいて通約できる
とせよ。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
• 　線分ＥＦ(;∩Ｄ)
  となっている。
  

そうすれば
　ＥＦは有理線分である。

• 　前節、
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
• ＥＦ；有理線分
  となっている。

そして
　数ＣＡがＡＢに対するように、
　　ＥＦ上の正方形がＦＧ上の正方形に対する
ようにされたとせよ。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題１０ー６の系２（作図.平方で数：数となる線分）
  により
  　ＦＧ'をとり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｇ(延長ＥＦ;ＦＧ＝ＦＧ')
  をとる。
• 　ＣＡ：ＡＢ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となっている。
  

そうすれば
　ＥＦ上の正方形は
　　ＦＧ上の正方形と通約できる。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
  
• 　正方(_ＥＦ)∩正方(_ＦＧ)
  となっている。
  

ゆえに
　ＦＧも有理線分である。
　　　　　　[......(４)]

• 　（１）、前節
  　定義１０ー３の補足（有理線分）
  による。
  
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

そして
　数ＣＡはＡＢに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたず、

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となっている。

　ＥＦ上の正方形もＦＧ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもたない。

• 　（２）、前節による。
• 　正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)＝≠平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＥＦは
　　ＦＧと長さにおいて通約できない。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＥＦ¬∩ＦＧ
  となっている。

それゆえ
　ＥＦ、ＦＧは
　　平方においてのみ通約できる有理線分である。
　　　　　　　[......(７)]

• 　（１）、 （３）、 （４）、 前節による。
• 　ＥＦ、ＦＧ；有理線分、
  　　ＥＦ∩^^2 ＦＧ
  となっている。

したがって
　ＥＧは二項線分である。

• 　前節、
  　定義の補足（命題１０ー３６）(二項線分)
  による。
• 　ＥＧ；二項線分
  となっている。

　第２の二項線分であることも証明しなければならない。
r> 逆に
　数ＢＡがＡＣに対するように、
　　ＧＦ上の正方形がＦＥ上の正方形に対し、
　　　　　[......(５)]

　（２）による。

　ＢＡ：ＡＣ＝正方(_ＧＦ)：正方(_ＦＥ)
となっている。
他方
　ＢＡがＡＣより大きい

• 　命題の設定による。
• 　ＢＡ＞ＡＣ
  となっている。

から、
　ＧＦ上の正方形は
　　ＦＥ上の正方形より大きい。

• 　前節、
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）、
  　公理１ー８（大きい）
  による。
• 　正方(_ＧＦ)＞正方(_ＦＥ)
  となっている。

　ＥＦ、Ｈ上の正方形の和が
　　ＧＦ上の正方形に等しい
とせよ。
　　　　　　[......(６)]

• 　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）　
  により、
  　点Ｋ(ＧＦ;ＦＫ＝ＦＥ)、
  をとると、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により、
  　正方(_ＧＦ)＝正方(_ＥＦ)＋矩形(ＧＫ,ＥＧ)
  となり、
  　命題６ー１７の補足 (作図.線分上に矩形と等しい正方形)
  により、
  　線分Ｈ(;正方(_Ｈ)＝矩形(ＧＫ,ＥＧ))
  をとる。
• 　正方(_ＥＦ)＋正方(_Ｈ)＝正方(_ＧＦ)
  となっている。

そうすれば
　反転比により
　ＡＢがＢＣに対するように、
　　ＦＧ上の正方形がＨ上の正方形に対する。

• 　（５）、前節、
  　定義５ー１６（比の反転）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝正方(_ＦＧ)：正方(_Ｈ)
  となっている。

ところが
　ＡＢはＢＣに対し、
　　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　Ｈ上の正方形に対し、
　　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)：正方(_Ｈ)＝平方数：平方数
  となっている。

それゆえ
　ＦＧは
　　Ｈと長さにおいて通約できる。

• 　前節、
  　命題１０ー９（長さで通約と正方形・平方数の比）
  による。
• 　ＦＧ∩Ｈ
  となっている。

したがって
　ＦＧ上の正方形は
　　ＦＥ上の正方形より
　　ＦＧと通約できる線分上の正方形だけ大きい。

• 　（６）、前節による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＦＥ)＋正方(_Ｈ)
  　ＦＧ∩Ｈ
  となっている。

そして
　ＦＧ、ＦＥは
　　平方においてのみ通約できる有理線分であり、

• 　（７）による。
• 　ＦＧ、ＦＥ；有理線分、
  　　ＦＧ∩^^2 ＦＥ
  となっている。

　　小さい項ＥＦが
　　　定められた有理線分Ｄと長さにおいて通約できる。

• 　（１） （２）による。
• 　ＥＦ∩Ｄ、
  　　ＥＦ＜ＦＧ
  となっている。

よって
　ＥＧは第２の二項線分である。

• 　定義１０�Uー２（第２の二項線分）
  による。
• 　ＥＧ；第２の二項線分
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー４９は、
  　命題１０ー２９助ａの補足
  により、
  　線分ＡＢ、点Ｃ(ＡＢ)を、
  　　ＡＢ：ＢＣ＝平方数：平方数、
  　　ＡＢ：ＡＣ≠平方数：平方数
  となるようにとり、
  　ある有理線分Ｄ
  　線分ＥＦ(;∩Ｄ)
  をとり、
  　命題１０ー６の系２により、
  　点Ｇ(延長ＥＦ;
  　　ＣＡ：ＡＢ＝正方(_ＥＦ)：正方(_ＦＧ)
  となるようにとれば、
  　ＥＧは、第２の二項線分
  のことである。
  
• 命題１０ー４９は作図用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,5-16,10-3補,補(題10-36),10�U-2
  公準
  公理		1-8
  命題	1-3,6-17補,補2(義10-3),10-6系2,10-6系3,10-29助a補	2-5,5-11,10-6,10-9
  その他	コ4(題7-1)

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