ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２９助ａ（作図.和も平方数である２平方数）
(作図.差が平方数でない２平方数)
　補助定理Ｉ
　和も平方数である
　２つの平方数を見いだすこと。

• 平方数は、
  定義７ー１９による。

　２数ＡＢ、ＢＣが定められ、
　共に偶数であるか
　共に奇数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。

そうすれば
　偶数から偶数がひかれても、
　奇数から奇数がひかれても、
　残りは偶数である

• 　命題９ー２４（偶数から偶数をひくと偶数）
  　命題９ー２６奇数から奇数をひくと偶数）
  による。

から、
　残りのＡＣは偶数である。

• 　前節、前々節による。
• 　ＡＣ；偶数
  となっている。

　ＡＣが
　Ｄにおいて２等分された
とせよ。

• 　命題６ー９（作図.線分のｎ分の１）
  による。
  
• 　ＡＤ、ＤＣ；数
  　ＡＤ＝ＤＣ
  となっている。

そして
　ＡＢ、ＢＣが
　相似な平面数か
　または平方数である
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。

　平方数は
　それ自身相似な平面数である。

• 　定義７−１９（平方数）
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  による。

したがって

• 　この「したがって」は、
  　前々々節を受けている。

　ＡＢ、ＢＣの積とＣＤの平方数の和は
　ＢＤの平方数に等しい。

• 　前々々節、
  　命題２ー５（和と差の積は平方の差１） による。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＤ^2＝ＢＤ^2
  となっている。

そして
　ＡＢ、ＢＣの積は平方数である、
なぜなら
もし
　２つの相似な平面数を
　互いにかけあわせてある数をつくる
ならば、
　その積は平方数である
ことが先に証明されたから。

• 　（ａ）、
  　命題８ー１８（相似な平面数と比例中項数）
  により、
  　ＡＢとＢＣの比例中項数ＥＤをとる
  と、
  　ＡＢ×ＢＣ＝ＥＤ^2
  となる。
• 　ＡＢ×ＢＣ；平方数
  となっている。

したがって
　２つの平方数、
　すなわち
　ＡＢ、ＢＣの積とＣＤの平方数が見いだされ、
　それらは
　加えられてＢＤの平方数をつくる。

• 　前節、前々節
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　以上を振り返れば、
  　定義７ー１７（平面数）
  に基づき
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ)
  により、
  　平面数ＡＢをとり、
  　命題８ー２０の補足（構成.相似な平面数の辺）
  により、
  　ＡＢが偶数であれば偶数の
  　奇数であれば奇数の
  　ＡＢに相似な平面数ＢＣ'をとる。
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＡＢ上にＣを、
  　ＢＣ＝ＢＣ'となるようにとると、
  　ＡＣは偶数であり、
  　命題６ー９（作図.線分のｎ分の１）
  により、
  　ＡＣの中点Ｄをとると、
  　ＡＤは数である。
  また、
  　命題８ー１８（相似な平面数と比例中項数）
  により、
  　ＡＢ、ＢＣの比例中項数ＢＥをとる。
  そうすると、
  　ＢＥ^2＋ＣＤ^2＝ＢＤ^2
  となっている。
  　平面数ＡＢ上に
  　ＡＣが偶数となるように
  　相似な平面数ＢＣをとり、
  　ＡＣの中点Ｄをとって、
  　ＡＢ、ＢＣの比例中項数ＥＢ
  をとれば、
  　数ＢＤ、ＣＤ、ＥＢについて、
  　ＢＤ^2ーＣＤ^2＝ＥＢ^2
  となる。
  
  
• 　２つの平方数の差が
  　相似な平面数の積となる場合以外には、
  　和も平方数である
  　２つの平方数を見いだすことができない
  ということが、
  　後半部分で述べられている。
• 　ＡＢ×ＢＣ＋ＣＤ^2
  　＝ＥＢ^2＋ＣＤ^2＝ＢＤ^2
  となっている。

そして
　２つの平方数、
　すなわち
　ＢＤの平方数とＣＤの平方数が見いだされ、
　それらの差、
すなわち
　ＡＢ、ＢＣの積は、
　ＡＢ、 ＢＣが相似な平面数である
場合には、
　平方数である
ことは明らかである。

• 　前半部分がこの論証
  となっている。

ところが
　それらが相似な平面数でない
場合には、
　２つの平方数、
　すなわち
　ＢＤの平方数とＤＣの平方数とが見いだされ、
　それらの差、
　すなわち
　ＡＢ、ＢＣの積は平方数ではない。

• 　背理法の仮定として、
  　ＡＢ×ＢＣ＝Ｅ^2
  となっているとすると、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  により
  　ＡＢ：Ｅ＝Ｅ：ＢＣ
  となるので、
  　ＡＢとＢＣの比例中項が存在し、
  　命題８ー２０（比例中項と相似な平面数）
  により、
  　ＡＢとＢＣは相似な平面数
  となり、
  　相似な平面数でない
  という前提に矛盾するので、
  　ＡＢ×ＢＣは平方数でない。
  よって、
  　ＡＢ、ＢＣが相似な平面数のとき、
  また、
  　そのときに限り、
  　平方数の和が平方数となる
  ことが論証された。
• したがって、
  　平面数ＡＢ上に
  　ＡＣが偶数となるように
  　相似でない平面数ＢＣをとり、
  　ＡＣの中点Ｄ をとれば、
  　数ＢＤ、ＣＤについて、
  　ＢＤ^2ーＣＤ^2は平方数でない
  となる。
  (以下、命題１０ー２９助ａの補足 (作図.差が平方数でない２平方数)という。)
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー２９助ａの補足は、
  　Ａ、Ｂ：共に偶数か共に奇数、
  　　Ｂ：Ａと相似でない平面数、
  　　Ａ＞Ｂ、
  ならば、
  　Ｃ：＝（ＡーＢ）／２、
  　Ｄ：＝Ｂ＋Ｃ
  とすると
  　Ｃ^2＝（ＡーＢ）^2／４ ＜＜＜
  　Ｄ^2＝（Ｂ＋Ｃ）^2　＜＜＜
  　Ｄ^2ーＣ^2＝Ａ×Ｂ：平方数でない
  のことである。
  
• 命題１０ー２９助ａは、
  　Ａ、Ｂ：共に偶数か共に奇数、
  　　Ａ＝ｍ^2×Ｂ（相似な平面数）、
  　　Ａ＞Ｂ、
  ならば、
  　Ｃ：＝（ＡーＢ）／２、
  　Ｅ：比例中項（Ａ、Ｂ）
  とすると
  　Ｃ^2＝（ＡーＢ）^2／４ ＜＜＜
  　Ｅ^2＝Ａ×Ｂ＝（ｍ×Ｂ）^2　＜＜＜
  　Ｃ^2＋Ｅ^2＝（Ｂ＋Ｃ）^2
  のことである。
  
• 命題１０ー２９助ａの補足 (作図.差が平方数でない２平方数)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-19,8-20
  その他		背理法

• 命題１０ー２９助ａは作図用命題である。

  前提	作図・作図	推論
  定義		7-17,7-19,7-22
  公準
  公理		1-2
  命題	1-3補,6-9,補(義7-2),8-20補	2-5,6-9,7-19,8-18,8-20,9-24,9-26
  その他	コ4(題7-1)	背理法

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