ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー29助a(作図.和も平方数である2平方数)
(作図.差が平方数でない2平方数)
 補助定理I
 和も平方数である
 2つの平方数を見いだすこと。



 2AB、BCが定められ、
 共に偶数であるか
 共に奇数である
とせよ。

そうすれば
 偶数から偶数がひかれても、
 奇数から奇数がひかれても、
 残りは偶数である

から、
 残りのACは偶数である。

 ACが
 Dにおいて2等分された
とせよ。

そして
 AB、BCが
 相似平面数
 または平方数である
とせよ。
      [......(a)]

 平方数
 それ自身相似平面数である。

したがって

 AB、BCのとCDの平方数の和は
 BDの平方数に等しい。

そして
 AB、BCの平方数である、
なぜなら
もし
 2つの相似平面数
 互いにかけあわせてあるをつくる
ならば、
 その平方数である
ことが先に証明されたから。

したがって
 2つの平方数
 すなわち
 AB、BCのとCDの平方数が見いだされ、
 それらは
 加えられてBDの平方数をつくる。

そして
 2つの平方数
 すなわち
 BDの平方数とCDの平方数が見いだされ、
 それらの差、
すなわち
 AB、BCのは、
 AB、 BCが相似平面数である
場合には、
 平方数である
ことは明らかである。

ところが
 それらが相似平面数でない
場合には、
 2つの平方数
 すなわち
 BDの平方数とDCの平方数とが見いだされ、
 それらの差、
 すなわち
 AB、BCの平方数ではない。

 これが証明すべきことであった。
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