ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
　互いに素である２数は
　それらと同じ比をもつ２数のうち
　最小である。

• 互いに素は、 定義７ー１３による。
• 数は、 定義７ー２による
• 同じ比は、 定義５ー５による。
• 最小は、 定義の補足３（命題３ー７） による。

　Ａ、Ｂを
　互いに素である２数
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　数Ａ
  に対して、
  　数Ｂ(;;(互いに素)Ａ)
  をとっている。

　Ａ、Ｂは
　それらと同じ比をもつ２数のうち
　最小である
と主張する。

もし
　そうでなければ、

• 背理法の仮定を述べようとしている。

　Ａ、Ｂより小さく、
　Ａ、Ｂと同じ比をなす何らかの数がある
であろう。

　それ［らの最小の数］をＣ、Ｄ
とせよ。

• 背理法の仮定である。
• 以下により、
  　(Ｃ：Ｄ);(最小数の比)
  としてよい。
  　Ｃ1＝Ａ、Ｄ1＝Ｂ
  とし、
  　(Ｃi+1：Ｄi+1);＝(Ｃi：Ｄi)、(小さい数の比)
  を逐次とることは、、
  　命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)
  により、
  　有限回で終わり、
  　最後の比Ｃ'：Ｄ'を
  　改めてＣ：Ｄ
  とすれば、
  　これが最小となる。
  
• 　(Ｃ：Ｄ);＝Ａ：Ｂ、(最小数の比)
  としている。

そうすれば
　同じ比をもつ２数のうち最小の数は
　それらと同じ比をもつ２数を、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を、
　すなわち
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい

• 命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  である。

から、
　ＣがＡを、ＤがＢを
　割り切り、その商は等しい。
　　　　　　[......(１)]

• 　商(Ａ,Ｃ)＝商(Ｂ,Ｄ)＝ｍ
  となっている。

そして
　ＣがＡを割った商に 等しい個数の単位が
　Ｅのなかにある
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 商をＥとするということである。
• 　個数(Ｅ,単位)＝商(Ａ,Ｃ)＝ｍ
  となっている。

そうすれば
　ＤがＢを割った商も
　Ｅのなかにある単位の個数である。

• （１） による。
• 　個数(Ｅ,単位)＝商(Ｄ,Ｂ)＝ｍ
  となっている。

そして
　ＣがＡを割った商が
　Ｅのなかにある単位の個数である
から、

• （ａ） による。
• 　個数(Ｅ,単位)＝商(Ａ,Ｃ)＝ｍ
  となっている。

　ＥがＡを割った商も
　Ｃのなかにある単位の個数である。

• 命題７−１５ （割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　個数(Ｃ,単位)＝商(Ａ,Ｅ)＝ｐ
  となっている。

そうすれば
　同じ理由で
　ＥがＢを割った商も
　Ｄのなかにある単位の個数である。

• 命題７−１５ （割る数と商のいれかえ）
  による。
• 　個数(Ｄ,単位)＝商(Ｂ,Ｅ)＝ｑ
  となっている。

それゆえ
　Ｅは
　互いに素であるＡ、Ｂを
　割り切る
ことになる。

• 前項、前々項による。
• 　Ｅ｜(Ａ、Ｂ)→(ｐ、ｑ)
  となっている。

　これは不可能である。

• 命題の設定による。

ゆえに
　Ａ、Ｂより小さく、
　Ａ、Ｂと同じ比をなす
　いかなる数もないであろう。

よって
　Ａ、Ｂは
　それらと同じ比をもつ２数のうち
　最小である。

• 背理法による。
• 　(Ａ：Ｂ);(最小数の比)
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー２１は、
  　Ａ(互いに素)Ｂ
  ならば
  　(Ａ：Ｂ);(最小数の比)
  のことである。
• 命題７ー２１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-11補	7-1補6,7-15,7-20
  その他	コ4(題7-1)	背理法

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