ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー２５（平方のみ通約な中項線分の矩形は有理面積か中項面積）

　平方においてのみ通約できる
　中項線分によってかこまれる矩形は
　有理面積か
　または
　中項面積である。

• 平方においてのみ通約は、
  定義の補足（命題１０ー１９助）による。
• 中項線分は、
  定義の補足（命題１０ー２１）による。
• かこまれるは、
  定義２ー１による。
• 矩形は、
  定義１ー２２による。
• 有理面積は、
  定義１０ー４の補足による。
• 中項面積は、
  定義の補足２（命題１０ー２３）による。

　矩形ＡＣが
　平方においてのみ通約できる
　中項線分ＡＢ、ＢＣによって
　かこまれた
とせよ。

• 　命題１０ー２２の補足 (作図.中項線分)
  により、
  　中項線分ＡＢをひき、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により、
  　ＡＢと平方においてのみ通約できる
  　線分ＢＣをひく
  　命題２ー１の補足（作図.矩形）
  により
  　矩形ＡＢ、ＢＣをつくる。
  
• 　ＡＢ、ＢＣ；中項線分
  　ＡＢ∩^^2ＢＣ
  　rec(ＡＣ)＝rec(ＡＢ、ＢＣ)
  となっている。

　ＡＣは
　有理面積か
　または
　中項面積である
と主張する。

　ＡＢ、ＢＣ上に
　正方形ＡＤ、ＢＥが描かれた
とせよ。
　　　　　　[......(a)]

• 　命題１−４６（作図.線分上に正方形） による。
• 　sq(ＡＤ)＝sq(_ＡＢ)、
  　sq(ＢＥ)＝sq(_ＢＣ)
  となっている。

そうすれば
　ＡＤ、ＢＥの双方は
　中項面積である。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題の設定、前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　sq(ＡＤ)、sq(ＢＥ)；中項面積
  となっている。

　有理線分ＦＧが定められ、
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　命題の補足２（定義１０ー３）(作図.任意の有理線分) による。
• 　ＦＧ；有理線分
  となっている。

　ＡＤに等しくてＦＨを幅とする
　直角平行四辺形ＧＨ
　［すなわち
　矩形ＦＧＭＨ］がＦＧ上につくられ、
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　rec(ＧＨ)＝sq(ＡＤ)
  となっている。

　ＡＣに等しくてＨＫを幅とする
　直角平行四辺形ＭＫ
　［すなわち
　矩形ＨＭＮＫ］
　がＨＭ上につくられた
とし、
　　　　　　[......(ｄ)]

• 　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
  による。
  
• 　rec(ＨＫ)＝rec(ＡＣ)
  となっている。

さらに同様にして
　ＢＥに等しくてＫＬを幅とする
　［矩形］ＮＬが
　ＫＮ上につくられた
とせよ。
　　　　　　[......(ｅ)]

　命題６ー１６の補足３(作図.線分上に矩形と等しい矩形)
による。

• 　rec(ＮＬ)＝sq(ＢＥ)
  となっている。

そうすれば
　ＦＨ、ＨＫ、ＫＬは一直線をなす。

• 　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  により、
  　角ＦＨＭ、ＭＨＫ、
  　角ＨＫＮ、ＮＫＬの
  　それぞれの和は２直角であり、
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  による。

そこで
　ＡＤ、ＢＥの双方は中項面積であり、

• 　（１）による。

　ＡＤはＧＨに、
　ＢＥはＮＬに等しい
　　　　　　[......(２)]

• 　（ｃ）、 （ｅ）による。　
• 　sq(ＡＤ)＝rec(ＧＨ)、
  　sq(ＢＥ)＝rec(ＮＬ)
  となっている。

から、
　ＧＨ、ＮＬの双方も中項面積である。

• 　前節、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
  
• 　rec(ＧＨ)、rec(ＮＬ)；中項面積
  となっている。

そして
　有理線分ＦＧ上につくられている。

• 　（ｂ）による。

したがって
　ＦＨ、ＫＬの双方は有理線分であり、
　ＦＧと長さにおいて通約できない。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー２２（中項線分上正方形に等矩形で有理線分の底辺と幅は長で非通約）
  による。
• 　ＦＨ、ＫＬ；有理線分、
  　ＦＨ¬∩ＫＬ
  となっている。

そして
　ＡＤはＢＥと通約できる

• 　命題の設定による。
• 　sq(ＡＤ)∩sq(ＢＥ)
  となっている。

から、
　ＧＨもＮＬと通約できる。

• 　（２）、 前節、　
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)
  　命題１０ー１２（通約量と通約なら通約） による。
  
• 　rec(ＧＨ)∩rec(ＮＬ)
  となっている。

そして
　ＧＨがＮＬに対するように、
　ＦＨがＫＬに対する。

• 　（ｃ） （ｄ）、 （ｅ）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　rec(ＧＨ)：rec(ＮＬ)＝ＦＨ：ＫＬ
  となっている。

したがって
　ＦＨは
　ＫＬと長さにおいて通約できる。

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約） による。
• 　ＦＨ∩ＫＬ
  となっている。

ゆえに
　ＦＨ、ＫＬは
　長さにおいて通約できる有理線分である。

• 　前節、 （３）による。
• 　ＦＨ、ＫＬ；有理線分、
  　ＦＨ∩ＫＬ
  となっている。

したがって
　矩形ＦＨ、ＫＬは有理面積である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　rec(ＦＨ、ＫＬ)；有理面積
  となっている。

そして
　ＤＢはＢＡに、
　ＯＢはＢＣに等しい

• 　（ａ）、
  定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。　

から、
　ＤＢがＢＣに対するように
　ＡＢがＢＯに対する。

• 　前節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
  
• 　ＤＢ：ＢＣ＝ＡＢ：ＢＯ
  となっている。

ところが
　ＤＢがＢＣに対するように、
　ＤＡがＡＣに対する。

• 　命題の設定、 （ａ）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＤＢ：ＢＣ＝sq(ＤＡ)：sq(ＡＣ)
  となっている。

そして
　ＡＢがＢＯに対するように
　ＡＣがＣＯに対する。

• 　命題の設定、 （ａ）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＯ＝sq(ＡＣ)：sq(ＣＯ)
  となっている。

したがって
　ＤＡがＡＣに対するように、
　ＡＣがＣＯに対する。

• 　前節、前々節、前々々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　sq(ＤＡ)：rec(ＡＣ)＝rec(ＡＣ)：sq(ＣＯ)
  となっている。

そして
　ＡＤはＧＨに、
　ＡＣはＭＫに、
　ＣＯはＮＬに等しい。

• 　（ｃ）、 （ｄ）、 （ｅ）による。
• 　sq(ＡＤ)＝rec(ＧＨ)、
  　rec(ＡＣ)＝rec(ＭＫ)、
  　sq(ＣＯ)＝rec(ＮＬ)
  となっている。

したがって
　ＧＨがＭＫに対するように、
　ＭＫはＮＬに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　rec(ＧＨ)：rec(ＭＫ)
  　＝rec(ＭＫ)：rec(ＮＬ)
  となっている。　

したがって
　ＦＨがＨＫに対するように、
　ＨＫがＫＬに対する。

• 　前節、 （ｃ）、 （ｄ）、 （ｅ）、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
  
• 　ＦＨ：ＨＫ＝ＨＫ：ＫＬ
  となっている。

それゆえ
　矩形ＦＨ、ＫＬは
　ＨＫ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　命題６ー１７（比例３線分と外項矩形、中項正方形）
  による。
• 　rec(ＦＨ、ＫＬ)＝sq(_ＨＫ)
  となっている。

ところが
　矩形ＦＨ、ＫＬは有理面積である。

• 　（４）による。
• 　rec(ＦＨ、ＫＬ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＨＫ上の正方形も有理面積である。

• 　前節、前々節による。
• 　sq(_ＨＫ)；有理面積
  となっている。

ゆえに
　ＨＫは有理線分である。

• 　前節、
  　命題１０ー２０（有理線分上の有理面積の矩形幅は底辺と長さで通約）
  による。
• 　ＨＫ；有理線分
  となっている。

そして
もし
　ＨＫが
　ＦＧと長さにおいて通約できる
ならば、
　ＨＮは有理面積である。

• 　この「もし」は、
  　場合分けの第１である。
  
• 　前節、
  　命題１０ー１９（長さで通約な有理線分の矩形は有理面積）
  による。
• 　ＨＫ∩ＦＧ
  の場合、
  　rec(ＨＮ)；有理面積
  となっている。

ところが
もし
　ＦＧと長さにおいて通約できない
ならば、
　ＫＨ、ＨＭは
　平方においてのみ通約できる有理線分である。

• 　この「もし」は
  　場合分けの第２である。
  
• 　前々節、
  　定義１０ー３の補足 （有理線分）
  による。
• 　ＦＧ＝ＨＭ
  となっていて、
  　ＫＨ∩^^2ＨＭ
  となっている。

ゆえに
　ＨＮは中項面積である。

• 　前節、
  　命題１０ー２１（平方のみ通約可の有理線分の矩形と無理面積・無理線分）、
  　定義の補足２（命題１０ー２３） (中項面積)
  による。
• 　ＨＫ∩^^2ＦＧ
  の場合、
  　rec(ＨＮ)；中項面積
  となっている。

したがって
　ＨＮは
　有理面積かまたは中項面積である。

• 　前節、前々々節による。
• 　rec(ＨＮ)；有理面積、または中項面積
  となっている。

そして
　ＨＮはＡＣに等しい。

• 　（ｄ）による。
• 　rec(ＨＮ)＝sq(ＡＣ)
  となっている。

したがって
　ＡＣは
　有理面積かまたは中項面積である。

• 　前節、前々節、
  　命題の補足（定義１０ー１）(等しい、倍量、約量と通約)、
  　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)
  による。
• 　ＡＣ：有理面積、または中項面積
  となっている。
  

よって
　平方においてのみ通約できる
　中項線分によってかこまれる矩形
　云々。

• 　云々は、
  以下の通り。
  「は
  　有理面積か
  　または
  　中項面積である。」
  

• 命題１０ー２５は,
  　Ａ、Ｂ：中項線分、
  　Ａ∩^^2Ｂ
  ならば、
  　rec(Ａ、Ｂ)：有理面積、または中項面積
  のことである。
  
• 　平方においてのみ通約な有理線分では中項面積
  となり、
  　同じく中項線分では有理面積、または中項面積
  となる。
  
• 命題１０ー２５は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-22,10-3補,10-4,補2(題10-23)
  公準
  公理
  命題	1-46,2-1補,6-16補3,補2(義10-3),10-6系3,10-22補	1-14,5-7,5-11,6-1,6-17,補(義10-1),10-11,10-12,10-19,10-20,10-21,10-22,10-23系
  その他

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