ユークリッド原論をどう読むか（２）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１ー２２（作図・３線分から三角形）　
（底辺の両端を中心とする２円の交点）
与えられた３線分に等しい３線分から
　三角形をつくること。
ただし
　どの２線分をとっても
　その和は残りの線分より
　大きくなければならない。

• 線分は、定義１ー４の補足による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 三角形は、定義１ー１９の補足２による。
• 大きいは、公理１ー８による。

与えられた３線分をＡ、Ｂ、Ｃとし、
　そのうちどの２線分をとっても
　その和は残りの線分より大きい、
　すなわち
　Ａ、Ｂの和はＣより、
　Ａ、Ｃの和はＢより、
　またＢ、Ｃの和はＡより
　大きいようにせよ。

• 　Ａ、Ｂ、Ｃ；線分、
  　Ａ＋Ｂ＞Ｃ、
  　Ｂ＋Ｃ＞Ａ、
  　Ｃ＋Ａ＞Ｂ
  をとっている。

このときＡ、Ｂ、Ｃに等しい３線分から
　三角形をつくらねばならぬ。

Ｄにおいて限られ、
　Ｅの方に無限である
　任意の直線ＤＥが定められ、

• 　実質的に半直線の定義である。
• 　半直(ＤＥ)
  をとっている。

ＤＦをＡに、
　ＦＧをＢに、
　ＧＨをＣに等しくせよ。
　　　　　　【・・・(a)】

• 命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  による。
• 　点Ｆ(ＤＥ,ＤＦ＝Ａ)、
  　点Ｇ(延長ＤＦ,ＦＧ＝Ｂ)、
  　点Ｈ(延長ＦＧ,ＧＨ＝Ｃ)
  をとっている。

そして
　中心Ｆ、半径ＦＤをもって
　円ＤＫＬが描かれたとせよ。
　　　　　　【・・・(b)】

• 公準１ー３（作図.円）
  による。
• 　円ＤＫＬ(Ｆ,ＦＤ)
  をとっている。

また
　中心Ｇ、半径ＧＨをもって
　円ＫＬＨが描かれ、
　　　　　　【・・・(c)】

• 公準１ー３（作図.円）
  による。
• この二つの円が交わる。
  　すなわち、
  　命題１ー２２の３線分の内の１線分について、
  　その両端から
  　他の２線分にそれぞれ等しい
  　　半径で円をかくと、
  ２円は
  　その線分の両側で
  　交わる。
  　（以下、命題１ー２２の補足（底辺の両端を中心とする２円の交点）という。）
  　
  このことは、
  　論証の要点であるが、
  　原論では論証されていない。
  次のように論証できる。
  線分ＦＨはＤＦより大きいので、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＦＨ上にＦＭがＤＦに等しくなるように
  　Ｍをとることができる。
  このとき、
  　ＧＭはＧＨより小さい。
  なぜなら、
  　ＦＧがＧＨより小さい場合は、
  　自明である。
  ＦＧがＧＨより小さくない場合は、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＦＧ上にＧＬがＧＨに等しくなるように
  　Ｌをとることができる。
  背理法の仮定として、
  　ＧＭが
  　ＧＨより小さくないとすると、
  　ＭはＦＬ上にある。
  このとき
  　ＦＭとＧＨの和は
  　ＦＭとＧＬの和に等しく
  　ＦＧより大きくないことになる。
  ところが
  　ＦＭとＧＨの和は
  　ＡとＣの和に等しく、
  　命題の設定によれば、
  　Ｂに等しいＦＧより大きい。
  これは不可能である。
  したがって、
  　背理法によりＧＨはＧＭより大きい。
  よってＭは、
  　定義１ー１５（円）
  により、
  　中心Ｇ、半径ＧＨの円の内部にある。
  一方ＧＤはＡとＢの和で、
  　ＣであるＧＨより大きいので、
  　定義１ー１５（円）
  により、
  　Ｄは中心Ｇ、半径ＧＨの円の外部にある。
  中心Ｆ、半径ＤＦの円は、
  　中心Ｇ、半径ＧＨの円の内部のＭと
  　その外部のＤを通るから、
  　命題の補足３（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
  により、
  　交点をもつ。
  命題１ー７の補足（図形と直線の交点）
  により、
  　線分ＦＧの
  　　一方の側では
  　この交点は１つであり、
  　　その交点をＫとし、
  　他方の側の
  　　交点をＬとして、
  　遡って、
  　Ｋ、Ｌを用いている。
• 　円ＫＬＨ(Ｇ,ＧＨ)
  をとっている。

ＫＦ、ＫＧが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分(Ｋ,Ｆ)、線分(Ｋ,Ｇ)
  をとっている。

三角形ＫＦＧは
　Ａ、Ｂ、Ｃに等しい線分から
　つくられていると主張する。

点Ｆは円ＤＫＬの中心であるから、

• (b) による。
• 　Ｆ;中心.円ＤＫＬ
  となっている。

ＦＤはＦＫに等しい。

• 定義１ー１５（円）
  による。
• 　ＦＤ＝ＦＫ
  となっている。

ところがＦＤはＡに等しい。

• (a) による。
• 　ＦＤ＝Ａ
  となっている。

それゆえＫＦもＡに等しい。
　　　　　　【・・・(1)】

• 　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＫＦ＝Ａ
  となっている。

また
　点Ｇは円ＬＫＨの中心であるから、
　ＧＨはＧＫに等しい。

• 　(c) ,
  　定義１ー１５（円）
  による。
• 　ＧＨ＝ＧＫ
  となっている。

ところがＧＨはＣに等しい。

• 　(a) による。
• 　ＧＨ＝Ｃ
  となっている。

それゆえＧＫもＣに等しい。
　　　　　　【・・・(2)】

• 　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　ＧＫ＝Ｃ
  となっている。

しかもＦＧはＢに等しい。

• 　(a) による。
• 　ＦＧ＝Ｂ
  となっている。

ゆえに
　３線分ＫＦ、ＦＧ、ＧＫは
　３線分Ａ、Ｂ、Ｃに等しい。

• 　(1) , (2) による。
• 　(ＫＦ,ＦＧ,ＧＫ)＝(Ａ,Ｂ,Ｃ)
  となっている。

よって
　与えられた３線分Ａ、Ｂ、Ｃに
　等しい３線分ＫＦ、ＦＧ、ＧＫから
　三角形ＫＦＧがつくられた。

• 　前節による。

　
これが作図すべきものであった。

• 　命題1-22は、
  　線分Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　半直(Ｄ,Ｅ)、
  　点Ｆ(ＤＥ,ＤＦ＝Ａ)、
  　点Ｇ(延長ＤＦ,ＦＧ＝Ｂ)、
  　点Ｈ(延長ＦＧ,ＧＨ＝Ｃ)、
  　交点Ｋ[円(Ｆ,ＦＤ),円(Ｇ,ＧＨ)]
  をとれば、
  　三角(Ｆ,Ｇ,Ｋ)
  のことである。
• 命題１ー２２の補足（底辺の両端を中心とする２円の交点）

  前提	作図	推論
  定義		1-15
  公準
  公理
  命題	1-3補	補3(義1-14) , 1-7補
  その他

• 　命題1-22は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15
  公準	1-1、1-3
  公理		1-1
  命題	補3(義1-14),1-3補,1-7補
  その他		二つの円が交わることについては、 命題1-3を前提とし、背理法を用いて証明する。

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