ユークリッド原論をどう読むか(14)
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ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー26(中項面積の差は無理面積)

 中項面積中項面積の差は
 有理面積ではない。




もし可能ならば、

 中項面積ABが
 中項面積ACより有理面積DBだけ大きい
とし、

 有理線分EFが定められ、
      [......(a)]

 ABに等しく
 EHをとする直角平行四辺形FHが
 EF上につくられ、
      [......(b)]

 それから
 ACに等しいFGがひかれた
とせよ。
      [......(c)]

そうすれば
 残りのBDは残りのKHに等しい
      [......(1)]

そして
 DBは有理面積である。

したがって
 KHも有理面積である。

そこで
 AB、ACの双方は中項面積であり、
 ABはFHに
 ACはFGに等しい

から、
 FH、FGの双方も中項面積である。

そして
 有理線分EF上につくられている。

したがって
 HE、EGの双方は有理線分であり、
 EFと長さにおいて通約できない。
      [......(2)]

そして
 DBは有理面積であり、
 KHに等しい

から、
 KHも有理面積である。

そして
 有理線分EF上につくられている。

したがって
 GHは有理線分であり、
 EFと長さにおいて通約できる。
      [......(3)]

ところが
 EGも有理線分であり、
 EFと長さにおいて通約できない。

したがって
 EGは
 GHと長さにおいて通約できない。

そして
 EGがGHに対するように
 EG上の正方形矩形EG、GHに対する

したがって
 EG上の正方形
 矩形EG、GHと通約できない。
    [......(4)]

ところが
 EG、GH上の正方形の和は
 EG上の正方形通約できる、
なぜなら
 共に有理面積であるから。

そして
 矩形EG、GHの2
 矩形EG、GHと通約できる、
なぜなら
 それの2であるから。

したがって
 EG、GH上の正方形の和は
 矩形EG、GHの2通約できない。

それゆえ
 EG、GH上の2つの正方形
 矩形EG、GHの2との和、
すなわち
 EH上の正方形
 EG、GH上の正方形の和と通約できない。

そして
 EG、GH上の正方形の和は有理面積である。

したがって
 EH上の正方形無理面積である。

ゆえに
 EHは無理線分である。

ところが
 有理線分でもある。

これは不可能である。

よって
 中項面積中項面積の差は有理面積ではない。

 これが証明すべきことであった。
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