ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２４（対角線をはさむ平行四辺形と相似）
すべての平行四辺形において
　対角線をはさむ２つの平行四辺形は
　全体に対しても
　互いにも
　相似である。

• 平行四辺形は、
  定義の補足（命題１ー３４） による。
• 対角線をはさむ平行四辺形は、
  定義の補足（命題１−４３） による。
• 相似は、
  定義６ー１ による。

ＡＢＣＤを平行四辺形とし、
　ＡＣをその対角線とし、
　ＥＧ、ＨＫを
　　ＡＣをはさむ平行四辺形とせよ。

• 命題１ー４３の補足２（作図.対角線をはさむ平行四辺形）
  による。
• 　ＡＢＣＤ;平行四辺形
  に対して、
  　Ｅ[ＡＢ]、
  　交点Ｆ(ＡＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
  　交点Ｇ(ＡＤ,平行線(Ｆ,ＡＢ))、
  　交点Ｋ(ＤＣ,延長ＥＦ)、
  　交点Ｈ(ＢＣ,延長ＧＦ)
  をとれば、
  　平四ＥＧ(ＡＣをはさむ)平四ＨＫ
  となっている。

平行四辺形ＥＧ、ＨＫの双方は
　全体ＡＢＣＤに対して、
　また
　互いに相似である
　と主張する。

ＥＦは
　三角形ＡＢＣの１辺ＢＣに
　平行にひかれたから、

• 命題の設定 による。
• 　ＥＦ‖辺ＢＣ.△ＡＢＣ
  となっている。

　比例し、
　 ＢＥがＥＡに対するように、
　ＣＦがＦＡに対する。 【・・・(1)】

• 命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＢＥ：ＥＡ＝ＣＦ：ＦＡ
  となっている。

また
　ＦＧは
　三角形ＡＣＤの１辺ＣＤに
　平行にひかれたから、

命題の設定 による。
• 　ＦＧ‖辺ＣＤ.△ＡＣＤ
  となっている。

　比例し、
　ＣＦがＦＡに対するように、
　ＤＧがＧＡに対する。

• 命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＣＦ：ＦＡ＝ＤＧ：ＧＡ
  となっている。

ところが
　ＣＦがＦＡに対するように、
　ＢＥがＥＡに対する
　ことが先に証明された。

• (1) による。
• 　ＣＦ：ＦＡ＝ＢＥ：ＥＡ
  となっている。

それゆえ
　ＢＥがＥＡに対するように、
　ＤＧがＧＡに対し、

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＢＥ：ＥＡ＝ＤＧ：ＧＡ
  となっている。

　そして
　合比により
　ＢＡがＡＥに対するように、
　ＤＡがＡＧに対し、

• 定義５ー１４（比の複合・合比）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＥ＝ＤＡ：ＡＧ
  となっている。

また
　いれかえて
　 ＢＡがＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＧに対する。 【・・・(2)】

• 命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＤ＝ＥＡ：ＡＧ
  となっている。

ゆえに
　平行四辺形ＡＢＣＤ、ＥＧの
　　共通な角ＢＡＤをはさむ辺は
　比例する。
そして
　ＧＦはＤＣに平行であり、

• 命題の設定 による。
• 　ＧＦ‖ＤＣ
  となっている。

　角ＡＦＧは角ＤＣＡに等しく、

• 命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＡＦＧ＝∠ＤＣＡ

　角ＤＡＣは
　２つの三角形ＡＤＣ、ＡＧＦに共通である。

• 　∠ＧＡＦ＝∠ＤＡＣ(共通)
  となっている。

したがって
　三角形ＡＤＣは
　三角形ＡＧＦに等角である。

• 命題６ー５の補足（２組の角が等しい三角形は他の角も等しい）
  による。
• 　△ＡＤＣ(等角)△ＡＧＦ
  となっている。

同じ理由で
　三角形ＡＣＢも
　三角形ＡＦＥに等角であり、

• 　△ＡＣＢ(等角)△ＡＦＥ
  となっている。

　平行四辺形ＡＢＣＤ全体は
　平行四辺形ＥＧに等角である。

• 　平行四辺形ＡＢＣＤと平行四辺形ＥＧは、
  　∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＧ(同一)
  であるから、
  　命題６−１４の補足３（１組の角が等しい平行四辺形と等角）
  により、
  　平行四辺形ＡＢＣＤ(等角)平行四辺形ＥＧ
  となっている。
  
• 　平四ＡＢＣＤ(等角)平四ＥＧ
  となっている。

それゆえ
　比例し、
　 ＡＤがＤＣに対するように
　ＡＧがＧＦに対し、 【・・・(3)】
　 ＤＣがＣＡに対するように、
　ＧＦがＦＡに対し、
　ＡＣがＣＢに対するように、
　ＡＦがＦＥに対し、 【・・・(4)】
　また
　 ＣＢがＢＡに対するように、
　ＦＥがＥＡに対する。 【・・・(5)】

• 命題６ー４（等角三角形の等角辺の比例）
  による。
• 　ＡＤ：ＤＣ＝ＡＧ：ＧＦ、
  　ＤＣ：ＣＡ＝ＧＦ：ＦＡ、
  　ＡＣ：ＣＢ＝ＡＦ：ＦＥ、
  　ＣＢ：ＢＡ＝ＦＥ：ＥＡ
  となっている。

そして
　ＤＣがＣＡに対するように、
　ＧＦがＦＡに対し、
　ＡＣがＣＢに対するように、
　ＡＦがＦＥに対する
　ことが証明されたから、

• (4) による。
• 　ＤＣ：ＣＡ＝ＧＦ：ＦＡ、
  　ＡＣ：ＣＢ＝ＡＦ：ＦＥ
  となっている。

　等間隔比により
　 ＤＣがＣＢに対するように、
　ＧＦがＦＥに対する。 【・・・(6)】

• 命題５ー２０（等間隔項の大等小）
  による。
• 　ＤＣ：ＣＢ＝ＧＦ：ＦＥ
  となっている。

ゆえに
　平行四辺形ＡＢＣＤ、ＥＧの
　等角をはさむ辺は比例する。

• (2),(3),(6),(5) による。

したがって
　平行四辺形ＡＢＣＤは
　平行四辺形ＥＧに相似である。

• 定義６ー１（相似）
  による。
• 　平四ＡＢＣＤ∽平四ＥＧ
  となっている。

同じ理由で
　平行四辺形ＡＢＣＤは
　平行四辺形ＫＨにも相似である。

• 　平四ＡＢＣＤ∽平四ＫＨ
  となっている。

それゆえ
　平行四辺形ＥＧ、ＨＫの双方は
　ＡＢＣＤに相似である。
ところが
　同じ直線図形に相似である図形は
　また
　互いに相似である。

• 命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  による。

ゆえに
　平行四辺形ＥＧも
　平行四辺形ＨＫに相似である。

• 　平四ＥＧ∽平四ＨＫ
  となっている。

よって
　すべての平行四辺形において
　対角線をはさむ２つの平行四辺形は
　全体に対しても
　互いにも相似である。
これが証明すべきことであった。
　

• 命題６ー２４は、
  　ＡＢＣＤ;平行四辺形
  に対して、
  　Ｅ[ＡＢ]、
  　交点Ｆ(ＡＣ,平行線(Ｅ,ＡＤ))、
  　交点Ｇ(ＡＤ,平行線(Ｆ,ＡＢ))、
  　交点Ｋ(ＤＣ,延長ＥＦ)、
  　交点Ｈ(ＢＣ,延長ＧＦ)
  をとれば、
  　平四ＡＢＣＤ∽平四ＥＧ
  　平四ＡＢＣＤ∽平四ＨＫ
  　平四ＥＧ∽平四ＨＫ
  のことである。
• 命題６ー２４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-14,6-1
  公準
  公理
  命題	1-43補2	1-29,5-11,5-16,5-20,6-2,6-4,6-5補,6-14補3,6-21
  その他

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