ユークリッド原論をどう読むか(10)
頁末          目次

ユークリッド原論

第6巻

命題6ー18(作図.線分上に相似な直線図形)
相似な位置
与えられた線分上に
 与えられた直線図形相似
 かつ
 相似な位置にある
 直線図形を描くこと。


与えられた線分をAB、
 与えられた直線図形をCEとせよ。

このとき
 線分AB上に
 直線図形CEに相似
 かつ
 相似な位置にある
 直線図形を描かねばならぬ。
 
DFが結ばれたとし、

  線分AB上に
 その上のA、Bにおいて
 Cにおける等しいGABと、
 CDFに等しいABGがつくられたとせよ。 【・・・(a)】

そうすれば
 残りのCFDは
 AGBに等しい

ゆえに
  三角形FCDは
 三角形GABに等角である。 【・・・(1)】

したがって
 [対応する辺が]
 比例し、
  FDがGBに対するように
 FCがGAに、
 CDがABに対する【・・・(2)】

また
 線分BG上に
 その上のB、Gにおいて
 DFEに等しいBGHと、
 FDEに等しいGBHがつくられたとせよ。

そうすれば
 残りのEにおける
 残りのHにおける等しい

ゆえに
   三角形FDEは
 三角形GHBに等角である。 【・・・(3)】

したがって
 比例し、
 FDがGBに対するように
 FEがGHに、
 EDがHBに対する

ところが
 FDがGBに対するように
 FCがGAに、
 CDがABに対する
 ことが先に証明された。

それゆえ
  FCがAGに対するように
 CDがABに、
 FEがGHに、
 また
 EDがHBに対する【・・・(4)】

そして
 CFDがAGBに、
 DFEがBGHに等しいから、

 CFE全体は
 AGH全体に等しい

同じ理由で
 CDEもABHに等しい

ところが
 CにおけるもAにおけるに、
 EにおけるもHにおける等しい

ゆえに
 AHはCEに等角である。

そして
 それらの等しいをはさむ辺が比例する。

したがって
 直線図形AHは直線図形CEに相似である。

よって
 与えられた線分AB上に
 与えられた直線図形CEに相似
 かつ
 相似な位置にある
 直線図形AHが描かれた。
これが作図すべきものであった。       目次   頁頭