ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２２（４線分とその上の相似直線図形の比例）
（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）
もし
　４線分が比例するならば、
　それらの上の相似でかつ相似な位置に
　描かれた直線図形は
　比例するであろう。
そしてもし
　線分上の相似でかつ相似な位置に
　描かれた直線図形が比例するならば、
　それらの線分は
　比例するであろう。

• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 比例は、 定義５ー６ による。
• 相似は、 定義６ー１ による。
• 相似な位置は、 定義の補足（命題６ー１８） による。
• 直線図形は、 定義１ー１９ による。

４線分ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ、ＧＨが比例する、
　すなわち
　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＧＨに対するとし、

• 命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ
  に対し
  　ＧＨ[;;ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ]
  をとっている。

　そして
　ＡＢ、ＣＤ上に
　相似でかつ相似な位置にある
　直線図形ＫＡＢ、ＬＣＤが
　ＥＦ、ＧＨ上に
　相似でかつ相似な位置にある
　直線図形ＭＦ、ＮＨが
　描かれたとせよ。

• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
• 　直線図形ＫＡＢ[_ＡＢ]、ＭＦ[_ＥＦ]
  に対し、
  　直線図形ＬＣＤ(∽ＫＡＢ,_ＣＤ)、
  　ＮＨ(∽ＭＦ,ＧＨ)
  をとっている。

ＫＡＢがＬＣＤに対するように、
　ＭＦがＮＨに対すると主張する。
　
ＡＢ、ＣＤの第３の比例項Ｏと
　ＥＦ、ＧＨの第３の比例項Ｐと
　がとられたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題６ー１１（作図.比例第３項）
  による。
• 　Ｏ[;;ＡＢ：ＣＤ＝ＣＤ：Ｏ]、
  　Ｐ[;;ＥＦ：ＧＨ＝ＧＨ：Ｐ]
  をとっている。

そうすれば
　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＧＨに対し、
　ＣＤがＯに対するように、
　ＧＨがＰに対するから、

• 命題の設定 ,(a)による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ、
  　ＣＤ：Ｏ＝ＧＨ：Ｐ
  となっている。

　等間隔比により
　ＡＢがＯに対するように、
　ＥＦがＰに対する。

• 命題５ー２０（等間隔項の大等小）
  による。
• 　ＡＢ：Ｏ＝ＥＦ：Ｐ
  となっている。

ところが
　ＡＢがＯに対するように、
　ＫＡＢがＬＣＤに対し、
　ＥＦがＰに対するように、
　ＭＦがＮＨに対する。

• 命題６ー１９（相似な三角形の比は辺の比の２乗）
  による。
• 　ＡＢ：Ｏ＝ＫＡＢ：ＬＣＤ、
  　ＥＦ：Ｐ＝ＭＦ：ＮＨ
  となっている。

それゆえ
　ＫＡＢがＬＣＤに対するように、
　ＭＦがＮＨに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＮＨ
  となっている。

　
次に
　 ＫＡＢがＬＣＤに対するように、
　ＭＦがＮＨに対するとせよ。

• 　相似で相似な位置にある直線図形ＫＡＢ、ＬＣＤと、
  　直線図形ＭＦ
  に対して
  　ＭＦに相似で相似な位置にある直線図形ＮＨで、
  　ＭＦ：ＮＨ＝ＫＡＢ：ＬＣＤ
  となるものの作図は、
  　本命題の前半
  により可能であるが、
  　この方法によらずに作図できたとして、
  　論証を進める。
  　
• 　ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ、
  に対して、
  　直線図形ＫＡＢ[_ＡＢ]、ＭＦ[_ＥＦ]、
  　ＬＣＤ(∽ＫＡＢ,_ＣＤ)、
  　線分ＧＨ(
  　　;;ＮＨ(∽ＭＦ,_ＧＨ
  　　　　;;ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＮＨ)
  　)
  をとっている。

ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＧＨに対すると主張する。

《なぜならもし
　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＧＨに対するのでないならば、》

• この１文は、
  　背理法の仮定を述べようとしている
  　ものである。
  しかし、
  　以下の論証は、背理法によらない。
  
• 「なぜならもし」については、コメント（命題１ー４）参照のこと。

　 ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＱＲに対するとし、 【・・・(b)】

• 命題６ー１２（作図.比例第４項）
  による。
• 　ＱＲ[;;ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＱＲ]
  をとっている。

　 ＱＲ上に
　ＭＦ、ＮＨのどちらかに相似で
　かつ
　相似な位置にある
　直線図形ＳＲが描かれたとせよ。 【・・・(c)】

• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
• 　ＳＲ(∽ＭＦ,_ＱＲ)
  をとっている。

　
そうすれば、
　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＱＲに対し、
　そして
　ＡＢ、ＣＤ上に
　相似でかつ相似な位置にある
　ＫＡＢ、ＬＣＤが
　ＥＦ、ＱＲ上に
　相似でかつ相似な位置にある
　ＭＦ、ＳＲが描かれたから、
　ＫＡＢがＬＣＤに対するように、
　ＭＦがＳＲに対する。

• 命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  による。
• 　ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＳＲ
  となっている。

ところが
　ＫＡＢがＬＣＤに対するように、
　ＭＦがＮＨに対する。

• 作図の設定 による。
• 　ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＮＨ
  となっている。

ゆえに
　ＭＦは
　ＮＨ、ＳＲの双方に対し同じ比をもつ。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＭＦ：ＮＨ＝ＭＦ：ＳＲ
  となっている。

したがって
　ＮＨはＳＲに等しい。

• 命題５ー９（同一比の量）
  による。
• 　ＮＨ＝ＳＲ
  となっている。

ところがまた
　それと相似でかつ相似な位置にある。

• (c)、 命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  による。
• 　ＳＲ(∽ＮＨ,_ＱＲ)
  

それゆえ
　 ＧＨはＱＲに等しい。 【・・・(1)】

• 以下の補足による。
  ３項Ａ、Ｂ、Ｃが比例するとき、
  　Ａ(＜、＝、＞)Ｂ
  ならば、
  　Ａ(＜、＝、＞)Ｃ。
  　
  （以下、命題６ー２２の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）という。）
  　Ａ＞Ｂ
  ならば、
  　定義５ー５（同じ比）
  により
  　Ｂ＞Ｃ
  となり、
  公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
  により
  　Ａ＞Ｃ。
  同様に
  　Ａ＜Ｂ
  ならば、
  　Ａ＜Ｃ。
  同様に
  　Ａ＝Ｂ
  ならば、
  　Ａ＝Ｃ。
  よって、結論が従う。
• 　ＧＨ＝ＱＲ
  となっている。

そして
　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＱＲに対し、

• (b) による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＱＲ
  となっている。

　ＱＲがＧＨに等しいから、

• (1) による。
• 　ＱＲ＝ＧＨ
  となっている。

　ＡＢがＣＤに対するように、
　ＥＦがＧＨに対する。

• 命題５ー７（同一量の比）、
  命題５ー１１（同一の比に同じ比） による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ
  となっている。

よってもし
　４線分が比例するならば、
　それらの上の相似でかつ相似な位置に描かれた
　直線図形は比例するであろう。
そしてもし
　線分上の相似でかつ相似な位置に
　描かれた直線図形が比例するならば、
　それらの線分は
　比例するであろう。
これが証明すべきことであった。
　

• 後半を背理法により証明するとすれば、
  　以下のようになる。
  背理法の仮定により、
  　ＧＨがＱＲに等しくないから、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）、
  命題６ー２２の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）
  により
  　ＮＨとＳＲは等しくない。
  一方、
  　後半と同様の推論により
  　ＮＨとＳＲは等しい。
  これは不可能である。
  よって、
  　ＧＨはＯＲに等しい。
  
• 命題６ー２２の補足は、
  　線分ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ
  　直線図形ＫＡＢ[_ＡＢ]、ＭＦ[_ＥＦ]
  に対し、
  　直線図形ＬＣＤ(∽ＫＡＢ,_ＣＤ)、
  をとる。
  そこで、
  　線分ＧＨ[;;ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ]、
  　直線図形ＮＨ(∽ＭＦ,ＧＨ)
  をとれば、
  　ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＮＨ
  となり、
  逆に、
  　線分ＧＨ(
  　　;;直線図形ＮＨ(∽ＭＦ,_ＧＨ
  　　　　;;ＫＡＢ：ＬＣＤ＝ＭＦ：ＮＨ
  　　　)
  　)
  をとれば、
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＦ：ＧＨ
  のことである。
  
• 命題６ー２２の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5
  公準
  公理		1-8補3
  命題
  その他

  　
• 命題６ー２２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	6-11,6-12,6-18	5-7,5-9,5-11,5-20,6-19,6-20,6-22補
  その他		コ(題1-4)fi

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