ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２５（作図.直線図形に等しく別の直線図形に相似）

与えられた直線図形に相似で、
　別の与えられた直線図形に等しい
　１つの図形
　を作ること。

• 直線図形は、定義１ー１９による。
• 相似は、定義６ー１による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 図形は、定義１ー１４による。

ＡＢＣを
　それに相似な図形をつくらなければならない
　与えられた直線図形とし、
　Ｄを
　それと等しくなければならない
　図形とせよ。

• 　命題１−４５（作図.直線図形,直線角と平行四辺形）
  により
  　任意の直線図形を
  　等しい平行四辺形に変形でき、
  　命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  により
  　指定された線分上に
  　任意の直線図形の相似な図形を作図できる
  ので、
  　三角形を直線図形の一般例として取り上げた
  　準一般的な証明である。
  コメント（命題１ー４５）参照のこと。
• 　ＡＢＣ、Ｄ;直線図形
  をとっている。

このとき
　ＡＢＣに相似で
　Ｄに等しい
　１つの図形をつくらねばならぬ。
　
　 ＢＣ上に
　《三角形》［直線図形］ＡＢＣに等しい平行四辺形ＢＥが、
【・・・(ａ)】

• 命題１−４２（作図.角,三角形と平行四辺形）
  による。
• 　点Ｅ[外.ＢＣ;;平四ＢＥ(ＢＣ,ＢＬ)＝直線図形ＡＢＣ]
  をとっている。

　 ＣＥ上に
　角ＣＢＬに等しい角ＦＣＥのなかに
　Ｄに等しい平行四辺形ＣＭが
　つくられたとせよ。
【・・・(ｂ)】

• 命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  による。
• 　点Ｆ(反対側(ＣＥ,Ｂ)
  　　;;∠ＣＢＬ＝∠ＦＣＥ,平四ＣＭ(ＣＥ,ＣＦ)＝Ｄ)
  をとっている。

そうすれば
　ＢＣはＣＦと、
　ＬＥはＥＭと１直線をなす。

• 　ＣＥ‖ＢＬ
  だから、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により
  　∠ＣＢＬ＋∠ＥＣＢ＝２∠Ｒ、
  　(b) により、
  　∠ＣＢＬ＝∠ＦＣＥ、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　∠ＦＣＥ＋∠ＥＣＢ＝２∠Ｒ。
  よって、
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　Ｆ;上.延長ＢＣ。
  命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により
  　ＢＦ‖ＬＥ
  だから、
  　∠ＣＥＬ＝∠ＦＣＥ、
  　ＢＦ‖ＥＭ
  だから
  　∠ＦＣＥ＋∠ＣＥＭ＝２∠Ｒ、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　∠ＣＥＬ＋∠ＣＥＭ＝２∠Ｒ
  となっているから、
  　命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　Ｍ;上.延長ＬＥ
  となっている。
• 　Ｆ;上.延長ＢＣ、
  　Ｍ;上.延長ＬＥ
  となっている。

そして
　ＢＣ、ＣＦの比例中項ＧＨがとられ、

• 命題６ー８の系（直角三角形の垂線は比例中項）
  による。
• 　ＢＣ：ＧＨ＝ＧＨ：ＣＦ
  となっている。

　 ＧＨ上に
　ＡＢＣに相似で
　かつ
　相似な位置にあるＫＧＨが
　描かれたとせよ。
【・・・(Ｃ)】

• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
• 　点Ｋ(同向側(ＨＧ,ＣＢ,Ａ)
  　　;;直線図形ＡＢＣ∽直線図形ＫＧＨ)
  をとっている。

　
そうすれば
　ＢＣがＧＨに対するように、
　ＧＨがＣＦに対し、

• 定義の補足３（命題６ー８）(比例中項)
  による。
• 　ＢＣ：ＧＨ＝ＧＨ：ＣＦ
  となっている。

　そしてもし
　３線分が比例するならば、
　第１の線分が第３の線分に対するように、
　第１の線分上の図形が
　第２の線分上の
　相似でかつ相似な位置に描かれた
　図形に対するから、

• 命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  による。

　ＢＣがＣＦに対するように、
　《三角形》［直線図形］ＡＢＣが《三角形》［直線図形］ＫＧＨに対する。

• 　ＢＣ：ＣＦ＝直線図形ＡＢＣ：直線図形ＫＧＨ
  となっている。

ところが
　ＢＣがＣＦに対するように、
　平行四辺形ＢＥが平行四辺形ＥＦに対する。

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＢＣ：ＣＦ＝平四ＢＥ：平四ＥＦ
  となっている。

それゆえ
　《三角形》［直線図形］ＡＢＣが《三角形》［直線図形］ＫＧＨに対するように、
　平行四辺形ＢＥが平行四辺形ＥＦに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　直線図形ＡＢＣ：直線図形ＫＧＨ
  　＝平四ＢＥ：平四ＥＦ
  となっている。

ゆえに
　いれかえて
　《三角形》［直線図形］ＡＢＣが平行四辺形ＢＥに対するように、
　《三角形》［直線図形］ＫＧＨが平行四辺形ＥＦに対する。

• 命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　直線図形ＡＢＣ：平四ＢＥ＝直線図形ＫＧＨ：平四ＥＦ
  となっている。

ところが
　《三角形》［直線図形］ＡＢＣは平行四辺形ＢＥに等しい。

• (ａ) による。
• 　直線図形ＡＢＣ＝平四ＢＥ
  となっている。

したがって
　《三角形》［直線図形］ＫＧＨも平行四辺形ＥＦに等しい。

• 定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　直線図形ＫＧＨ＝平四ＥＦ
  となっている。

ところが
　平行四辺形ＥＦはＤに等しい。

• (ｂ) による。
• 　平四ＥＦ＝Ｄ
  となっている。

ゆえに
　ＫＧＨもＤに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　直線図形ＫＧＨ＝Ｄ
  となっている。

そして
　ＫＧＨは
　また
　ＡＢＣに相似である。

• (ｃ) による。
• 　直線図形ＫＧＨ∽直線図形ＡＢＣ
  となっている。

よって
　与えられた直線図形ＡＢＣに相似で、
　別の与えられた図形Ｄに等しい
　１つの図形ＫＧＨがつくられた。
これが作図すべきものであった。

• 命題６ー２５は、
  　直線図形ＡＢＣ、Ｄ
  に対して
  　点Ｅ[外.ＢＣ
  　　;;平四ＢＥ(ＢＣ,ＢＬ)＝直線図形ＡＢＣ]、
  　点Ｆ(反対側(ＣＥ,Ｂ)
  　　;;∠ＣＢＬ＝∠ＦＣＥ,平四ＣＭ(ＣＥ,ＣＦ)＝Ｄ)、
  　線分ＧＨ[;;ＢＣ：ＧＨ＝ＧＨ：ＣＦ]、
  　点Ｋ(同向側(ＨＧ,ＣＢ,Ａ)
  　　;;直線図形ＡＢＣ∽直線図形ＫＧＨ)
  をとれば、
  　直線図形ＫＧＨ∽直線図形ＡＢＣ、
  　直線図形ＫＧＨ＝Ｄ
  のことである。
• 命題６ー２５は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5,補3(題6-8)
  公準
  公理		1-1,1-2
  命題	1-42,1-45,1-45補2,6-8系,6-18	1-14,1-29,5-11,5-16,6-1,6-20
  その他		コ(題1-45)

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