ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２７（相似な平行四辺形が欠けた平行四辺形）
「欠けている」 　「なぜなら(追加説明）」

１つの線分の半分の上に
　描かれた平行四辺形に
　相似で、かつ相似な位置にある
　平行四辺形だけ欠けた平行四辺形が
　いくつかその同じ線分上につくられるとき、
　それらすべてのうち最大なものは、
　その線分の半分の上につくられ、
　かつ欠けている部分に相似な平行四辺形である。

• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 半分は、 定義の補足（公理１ー６） による。
• 平行四辺形<は、 定義１ー２２の補足２ による。
• 相似は、 定義６ー１ による。
• 相似な位置は、 定義の補足（命題６ー１８） による。

ＡＢを線分とし、
　それがＣにおいて２等分されたとし、

• 命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
• 　線分ＡＢ
  に対して、
  　中点Ｃ(ＡＢ)
  をとっている。

　線分ＡＢ上に
　ＡＢの半分、
　すなわち
　ＣＢ上に描かれた平行四辺形ＤＢだけ

• 平行四辺形ＤＢの形は任意である。
  よって、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　線分ＡＢ上ではないところに
  　点Ｄをとり、
  　公準１ー１（作図.直線）
  により
  　ＤとＣとを結び、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　Ｄを通りＡＢに平行に直線をひき、
  　Ｂを通りＣＤに平行に直線をひくと、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　この２直線は交わる。
  　その交点をＥとすると、
  　定義１ー２２の補足２（平行四辺形）
  により、
  　ＣＢＥＤは平行四辺形ＤＢとなる。
  
• 　点Ｄ[外.ＡＢ]、
  　交点Ｅ(平行線(Ｄ,ＡＢ),平行線(Ｂ,線分ＣＤ))、
  　平行四辺形ＤＢ(ＢＣ,ＢＥ)
  をとっている。

　欠けている平行四辺形ＡＤがつくられたとせよ。

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＢＡと平行な直線ＥＤを延長し、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　Ａを通りＣＤに平行に直線をひくと、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　この２直線は交わる。
  　その交点をＯとすると、
  　定義１ー２２の補足２（平行四辺形）
  により、
  　ＡＣＤＯは平行四辺形ＡＤとなる。
  
• 　交点Ｏ(延長ＥＤ,平行線(Ａ,ＣＤ))、
  　平行四辺形ＡＤ(ＡＣ,ＡＯ)
  をとっている。

ＡＢ上につくられ、
　ＤＢに
　相似でかつ相似な位置にある
　平行四辺形だけ欠けている
　すべての平行四辺形のうち、

• 欠けている とは、
  　平行四辺形から、
  　それに等角で高さの等しい平行四辺形が
  　除かれて、
  　その結果として
  　平行四辺形が残っている状態
  　をいっている。
  （以下、コメント（命題６ー２７） (欠けている)という。）

　ＡＤが最大である［。］
　《と主張する。
なぜなら》［すなわち］
　線分ＡＢ上に
　ＤＢに
　相似でかつ相似な位置にある
　平行四辺形ＦＢだけ欠けている
　平行四辺形ＡＦが描かれたとせよ。

• ここの「なぜなら(追加説明）」 は、
  　これまでと全く異なる。
  文脈としては、
  　根拠を示すというよりも、
  　具体的に説明を追加している。
  （以下、コメント２（命題６ー２７） (なぜなら(追加説明）)という。）
  「なぜならもし」 は、
  　コメント（命題１ー４） 参照のこと。
  「なぜなら・・・であるから」 は、
  　コメント２（命題１ー１６） 参照のこと。
  
• 平行四辺形の作図については、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　ＣＢ上に点Ｋをとり、
  　命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  により
  　線分ＫＢ上に
  　ＤＢに相似でかつ相似な位置にある
  　平行四辺形ＫＢＨＦを描く。
• 　点Ｋ[ＣＢ]、
  　平四ＫＢＨＦ(∽平四ＤＢ,_ＫＢ)
  をとると、
  　平四ＡＦ(_ＡＢ,ー,平四ＫＢＨＦ;∽平四ＤＢ)
  となっている。

ＡＤは
　ＡＦより大きいと主張する。

平行四辺形ＤＢは
　平行四辺形ＦＢに相似であるから、

• 命題の設定 による。
• 　平四ＤＢ∽平四ＦＢ
  となっている。

　同じ対角線をはさんでいる。

• 命題６ー２６（共通角の平行四辺形の相似と対角線）
  による。
• 　対角線ＦＢ.平四ＦＢ
  　　;上.対角線ＤＢ.平四ＤＢ
  となっている。

それらの対角線ＤＢがひかれ、

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　対角線ＤＢ
  をとっている。

　そして
　作図がされたとせよ。

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＨＦを延長すると、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＡＯと交わり、
  　その交点をＧとする。
  また、
  　ＫＦを延長すると、
  　ＤＥと交わる。
  
• 　交点Ｇ(延長ＨＦ,ＡＯ)、
  　交点Ｐ(延長ＫＦ,ＤＥ)
  をとっている。

そうすれば
　ＣＦはＦＥに等しく、

• 命題１−４３（平行四辺形の補形）
  による。
• 　平四ＣＦ＝平四ＦＥ
  となっている。

　ＦＢは共通であるから、
　ＣＨ全体はＫＥ全体に等しい。

• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　平四ＣＨ＝平四ＫＥ
  となっている。

ところが
　ＡＣはＣＢに等しいから、

• 命題の設定 による。
• 　ＡＣ＝ＣＢ
  となっている。

　ＣＨはＣＧに等しい。

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　平四ＣＨ＝平四ＣＧ
  となっている。

それゆえ
　ＧＣもＥＫに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＧＣ＝平四ＥＫ
  となっている。

双方にＣＦが加えられたとせよ。
そうすれば
　ＡＦ全体はグノーモーンＬＭＮに等しい。

• グノーモーンは、
  定義２ー２（グノーモーン）
  による。
• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　平四ＡＦ＝グノーモーンＬＭＮ
  となっている。

したがって
　平行四辺形ＤＢ、すなわちＡＤは
　平行四辺形ＡＦより大きい。

• ＤＢは、
  　公理１ー８（大きい）
  により、
  　グノーモーンＬＭＮより大きく、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により、
  　ＡＦよりおおきい。
  一方、
  　命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  により、
  　ＤＢはＡＤに等しい。
  よって、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により、
  　ＡＤはＡＦよりおおきい。
  
• 　平四ＡＤ
  　＝平四ＤＢ
  　＞＝グノーモーンＬＭＮ
  　　　＝平四ＡＦ
  となっている。

よって
　１つの線分の半分の上に
　描かれた平行四辺形に
　相似で、かつ相似な位置にある
　平行四辺形だけ欠けた平行四辺形が
　いくつかその同じ線分上につくられるとき、
　それらすべてのうち最大なものは、
　その線分の半分の上につくられ、
　かつ
　欠けている部分に相似な平行四辺形である。
これが証明すべきことであった。

• 命題６ー２７は、
  　線分ＡＢ
  に対して、
  　中点Ｃ(ＡＢ)、
  　点Ｄ[外.ＡＢ]、
  　平行四辺形ＤＢ(ＣＤ,ＣＢ)、
  　平行四辺形ＡＤ(ＣＤ,ＣＡ)、
  　点Ｋ[ＣＢ]、
  　交点Ｆ(ＤＢ,平行線(Ｋ,ＣＤ))、
  　平四ＢＦ(∽平四ＤＢ,_ＫＢ)、
  　平四ＡＦ(_ＡＢ,ー,平四ＢＦ;∽平四ＤＢ)
  をとると、
  　平四ＡＤ
  　　＞＝平四ＡＦ
  のことである。
  
• 命題６ー２７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-22補2,2-2
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1,1-2,1-8,1-8補2
  命題	1-10,1-30補,1-31,6-18	1-43,6-1,6-26
  その他		コ(題1-4),コ2(題1-16) ,コ2(題6-27)

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