ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２９（作図.線分の平行四辺形外分割（コ））
線分の平行四辺形外分割（コ）
与えられた線分上に
　与えられた直線図形に等しく、
　与えられた平行四辺形に相似な
　平行四辺形だけはみだす、
　平行四辺形を描くこと。

• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 直線図形は、 定義１ー１９ による。
• 等しくは、 公理１ー７ による。
• 平行四辺形は、 定義１ー２２の補足２ による。
• 相似は、 定義６ー１ による。
• 　与えられた線分上に
  　与えられた図形に等しく、
  　与えられた平行四辺形に
  　相似な平行四辺形だけはみだす
  　平行四辺形をつくること
  を、線分の平行四辺形外分割という。 (以下、コメントでの定義（命題６ー２９） (線分の平行四辺形外分割（コ）)という。)
  　この定義は、
  　コメントを簡潔に記述する
  ためにだけ用いる。
  　原論の本文には登場しない。
  

与えられた線分をＡＢとし、
　Ｃを
　ＡＢ上にそれに等しい
　平行四辺形を描かねばならぬ
　与えられた図形とし、
　Ｄを
　それに相似な図形だけ
　はみださねばならぬ図形とせよ。

• 　線分ＡＢ、直線図形Ｃ、平四Ｄ
  をとっている。

このとき
　線分ＡＢ上に
　直線図形Ｃに等しく、
　Ｄに相似な平行四辺形だけはみだす、
　平行四辺形を描かねばならぬ。

ＡＢが
　Ｅにおいて２等分されたとし、 【・・・(a)】

• 命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
• 　中点Ｅ(ＡＢ)
  をとっている。

　 ＥＢ上に
　Ｄに相似でかつ相似な位置にある
　平行四辺形ＢＦが描かれ、 【・・・(b)】

• 命題６ー１８（作図.線分上に相似な直線図形）
  による。
• 　平四ＢＦ(_ＥＢ,∽平四Ｄ)
  をとっている。

　 ＢＦ、Ｃの和に等しく
　Ｄに相似でかつ相似な位置にある
　ＧＨがつくられたとせよ。 【・・・(c)】

• 公準１ー２（作図.直線の延長）、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により
  　点Ｔ[延長ＥＦ]
  をとる。
  命題１ー４５の補足２(作図.直線図形,線分,直線角と平行四辺形)
  により
  　点Ｓ(ＥＴ
  　　;;平四ＦＬＲＳ(ＦＬ,ＦＳ;;＝直線図形Ｃ))
  をとり、
  命題６ー２５（作図.直線図形に等しく別の直線図形に相似）
  により
  　平四ＧＫＨＵ[∽平四Ｄ,＝平四ＥＢＲＳ] をとっている。
• 　平四ＧＨ;∽Ｄ,＝平四ＢＦ＋直線図形Ｃ
  となっている。

そして
　ＫＨがＦＬに
　ＫＧがＦＥに対応するとせよ。

• 作図の設定である。
• 　辺ＫＨ.平四ＧＨ：辺ＦＬ.平四ＢＦ
  　＝辺ＫＧ.平四ＧＨ：辺ＦＥ.平四ＢＦ
  となっている。

ＧＨは
　ＦＢより大きいから、

• (c)による。
• 　平四ＧＨ＞平四ＦＢ
  となっている。

　ＫＨもＦＬより、
　ＫＧもＦＥより大きい。

• 命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　平四ＧＨ：平四ＦＢ
  　＝(ＫＨ：ＦＬ)^2
  となっている。
  命題６ー１１（作図.比例第３項）
  により
  　ＫＨ、ＦＬに対し
  　第３の比例項Ｆ'Ｌ'を見いだすと、
  　平四ＧＨ：平四ＦＢ＝ＫＨ：Ｆ'Ｌ'。
  定義５ー５（同じ比）
  により
  　平四ＧＨ＞平四ＦＢ
  となり
  　ＫＨ＞Ｆ'Ｌ'。
  命題６ー２２の補足（３項比例の１,２項と１,３項の大等小）
  により
  　ＫＨ＞ＦＬ。
  同様にして、
  　ＫＧ＞ＦＥ。
  
• 　ＫＨ＞ＦＬ、
  　ＫＧ＞ＦＥ
  となっている。

ＦＬ、ＦＥが延長され、

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  による。

　ＦＬＭがＫＨに等しくされ、
　ＦＥＮがＫＧに等しくされ、

• 命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｍ(延長ＦＬ;;ＦＭ＝ＫＨ)、
  　点Ｎ(延長ＦＥ;;ＦＮ＝ＫＧ)
  をとっている。

　ＭＮが完結されたとせよ。

• 「［平行四辺形の］完結」は、
  　コメント２（命題６ー１４）参照のこと。
• 　平四ＭＮ(ＦＭ,ＦＮ)
  をとっている。

そうすれば
　 ＭＮは
　ＧＨに等しく、かつ相似である。 【・・・(1)】

• 命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）、
  定義６ー１（相似）
  により、
  　相似である。
  また、
  　命題６ー２０（相似多角形の相似三角形分解と２乗の比）
  により、
  　等しい。
  
• 　平四ＭＮ;＝平四ＧＨ,∽平四ＧＨ
  となっている。

ところが
　ＧＨは
　ＥＬ［すなわちＢＦ］に相似である。

• (b),(c) による。
• 　平四ＧＨ∽平四ＥＬ
  となっている。

それゆえ
　ＭＮもＥＬに相似である。

• 命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  による。
• 　平四ＭＮ∽平四ＥＬ
  となっている。

ゆえに
　ＥＬは
　ＭＮと同じ対角線をはさんでいる。

• 命題６ー２６（共通角の平行四辺形の相似と対角線）
  による。
• 　平四ＥＬ(同じ対角線)平四ＭＮ
  となっている。

それらの対角線ＦＯがひかれ、

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　対角線ＦＯ
  をとっている。

　そして作図がなされたとせよ。

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  により
  　ＡＢを延長すると
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　ＭＯと交わり、
  　その交点をＰとする。
  同様にして
  　ＬＢを延長すると、
  　ＮＯと交わり、
  　その交点をＱとする。
  さらに
  　平行四辺形ＡＮを完結させる。
  
• 　交点Ｐ(延長ＡＢ,ＭＯ)、
  　交点Ｑ(延長ＬＢ,ＮＯ)、
  　平四ＡＮ(ＥＡ,ＡＮ)
  をとっている。

ＧＨは
　ＥＬ［すなわちＢＦ］、Ｃの和に等しく、
　他方
　ＧＨは
　ＭＮに等しいから、

• (c),(1)による。
• 　平四ＧＨ＝平四ＥＬ＋直線図形Ｃ、
  　＝平四ＭＮ
  となっている。

　ＭＮもＥＬ、Ｃの和に等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＭＮ＝平四ＥＬ＋直線図形Ｃ
  となっている。

双方から
　ＥＬがひかれたとせよ。
そうすれば
　残りのグノーモーンＸＷＶはＣに等しい。 【・・・(2)】

• 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　グノーモーンＸＷＶ＝直線図形Ｃ
  となっている。

そして
　ＡＥはＥＢに等しいから、

• (a)による。
• 　ＡＥ＝ＥＢ
  となっている。

　ＡＮもＮＢに、
　すなわちＬＰに等しい。

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　平四ＡＮ＝平四ＮＢ
  　＝平四ＬＰ
  となっている。

双方に
　ＥＯが加えられたとせよ。
そうすれば
　ＡＯ全体はグノーモーンＶＷＸに等しい。

• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　平四ＡＯ＝グノーモーンＶＷＸ
  となっている。

ところが
　グノーモーンＶＷＸはＣに等しい。

• (2)による。
• 　グノーモーンＶＷＸ＝直線図形Ｃ
  となっている。

ゆえに
　ＡＯもＣに等しい。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　平四ＡＯ＝直線図形Ｃ
  となっている。

よって
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた直線図形Ｃに等しく、
　Ｄに相似な平行四辺形ＱＰだけはみだす
　平行四辺形ＡＯが描かれた、

• 　平四ＡＯ
  　;平四(_ＡＢ(+)ＢＰ
  　　　;;＝直線図形Ｃ
  　　　　,≡平四ＡＱ(+)平四ＱＰ;∽平四Ｄ)
  となっている。

　なぜなら
　ＰＱは
　ＥＬにも相似であるから。

• 「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
• 前項、(ｂ)、
  　命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
  により、
  　平四ＰＱ∽平四Ｄ、
  となっている。

これが作図すべきものであった。

• 命題６ー２９は、
  　線分ＡＢ、直線図形Ｃ、平四Ｄ
  に対して、
  　中点Ｅ(ＡＢ)、
  　平四ＢＦ(_ＥＢ,∽平四Ｄ)、
  　点Ｓ(延長ＥＦ
  　　;;平四ＦＬＲＳ(ＦＬ,ＦＳ;;＝直線図形Ｃ))、
  　平四ＧＫＨＵ[∽平四Ｄ,＝平四ＥＢＲＳ]
  をとると、
  　平四ＧＨ;∽Ｄ,＝平四ＢＦ＋直線図形Ｃ
  となり、
  　点Ｍ(延長ＦＬ;;ＦＭ＝ＫＨ)、
  　点Ｎ(延長ＦＥ;;ＦＮ＝ＫＧ)、
  　平四ＭＦＮＯ(ＦＭ,ＦＮ)、
  　交点Ｐ(延長ＡＢ,ＭＯ)、
  　交点Ｑ(延長ＬＢ,ＮＯ)、
  　平四ＡＮ(ＥＡ,ＡＮ)、
  　平四ＡＯ
  　;平四(_ＡＢ(+)ＢＰ
  　　　;;＝直線図形Ｃ
  　　　　,≡平四ＡＱ(+)平四ＱＰ;∽平四Ｄ)
  のことである。
  
• 命題６ー２９は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5,6-1
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1,1-2,1-3
  命題	1-3,1-10,1-30補,1-45補2,6-11,6-18,6-25	1-34,6-1,6-20,6-21,6-22補,6-26
  その他	コ2(題6-14)

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