ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６８（作図.第６の二項線分）
(線分と分割の一方とが比例なら、分割の他方とも比例) (線分と分割の一方とが比例なら、線分と分割の双方とも、その上の正方形も比例) (線分と分割の一方とが比例なら、分割によりかこまれる矩形も、分割の上の正方形と比例)
　優線分と通約できる線分は
　　それ自身優線分である。

• 優線分は、
  定義の補足(命題１０ー３９) による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　ＡＢを
　　優線分とし、
　ＣＤを
　　ＡＢと通約できる
とせよ。
　ＣＤは
　　優線分である
と主張する。

• 　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  　により、
  　線分ＡＥ,ＥＢ；
  　　,ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　,正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  　　,矩形(ＡＥ,ＥＢ)；中項面積
  をとれば、
  　命題１０ー３９（平方で非通約，平方和が有理面積，かこむ矩形が中項面積の２線分の和は優線分 ）
  により、
  　ＡＢ；優線分
  となり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
  
• 　ＡＢ：優線分、
  　　ＡＥ∩^^2 ＥＢ、
  　　、正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＥ,ＥＢ)；中項面積
  　ＣＤ；∩ＡＢ
  となっている。

　ＡＢが
　　Ｅで分けられたとせよ。
そうすれば
　ＡＥ、ＥＢは
　　平方において通約できず、
　　それらの上の正方形の和を有理面積とし、
　　それらによってかこまれる矩形を中項面積とする。

• 　前節による。
• 　ＡＢ：優線分、
  　　ＡＥ∩^^2 ＥＢ、
  　　、正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  　　、矩形(ＡＥ,ＥＢ)；中項面積
  　ＣＤ；∩ＡＢ
  となっている。

　前と同じ作図がなされた
とせよ。

• 　命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  により、
  　ＡＢが
  　　ＣＤに対するように、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように
  　Ｆをとる。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となっている。

そうすれば
　ＡＢが
　　ＣＤに対するように、
　ＡＥが
　　ＣＦに、
　ＥＢが
　　ＦＤに対する
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題５ー１７（合比で比例なら分割比でも比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  　ＡＢ：ＣＤ＝ＥＢ：ＦＤ
  となっている。

から、
　ＡＥが
　　ＣＦに対するように、
　ＥＢが
　　ＦＤに対する。

• 　前節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　「前と同じ作図がなされた」以降により、
  次が示された。
  　ＡＢが
  　　ＣＤに対するように、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように
  　Ｆをとるなら、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように、
  　ＥＢが
  　　ＦＤに対する。
  (以下、命題１０ー６８の補足 (線分と分割の一方とが比例なら、分割の他方とも比例)という。)
  
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＥＢ：ＦＤ
  となっている。

ところが
　ＡＢは
　　ＣＤと通約できる。

• 　命題の設定による。
• 　ＡＢ∩ＣＤ
  となっている。

したがって
　ＡＥ、ＥＢの双方も
　　ＣＦ、ＦＤの双方と通約できる。

• 　（１）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＡＥ∩ＣＦ、
  　ＥＢ∩ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＥが
　　ＣＦに対するように、
　ＥＢが
　　ＦＤに対し、

• 　（１）による。
• 　ＡＥ：ＣＦ＝ＥＢ：ＦＤ
  となっている。

いれかえて
　ＡＥが
　　ＥＢに対するように、
　ＣＦが
　　ＦＤに対する
　　　　　　[......(５)]

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となっている。

から、
合比により
　ＡＢが
　　ＢＥに対するように、
　ＣＤが
　　ＤＦに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題５ー１８（分割比で比例なら合比でも比例）
  による。
• 　ＡＢ：ＢＥ＝ＣＤ：ＤＦ
  となっている。

したがって
　ＡＢ上の正方形が
　　ＢＥ上の正方形に対するように、
　ＣＤ上の正方形が
　　ＤＦ上の正方形に対する。

• 　前節、
  　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)：正方(_ＢＥ)＝正方(_ＣＤ)：正方(_ＤＦ)
  となっている。

同様にして
　ＡＢ上の正方形が
　　ＡＥ上の正方形に対するように、
　ＣＤ上の正方形が
　　ＣＦ上の正方形に対する
ことを証明しうる。

• 　（２）、
  　命題５ー１９の系（合比で比例なら反転でも比例）、
  　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
  による。
• 「そして
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように、
  　ＥＢが
  　　ＦＤに対し、」以降により、
  以下のことが示された。
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように、
  　ＥＢが
  　　ＦＤに対するなら、
  　ＡＢ上の正方形が
  　　ＢＥ上の正方形に対するように、
  　ＣＤ上の正方形が
  　　ＤＦ上の正方形に対し、
  　ＡＢ上の正方形が
  　　ＡＥ上の正方形に対するように、
  　ＣＤ上の正方形が
  　　ＣＦ上の正方形に対する。
  (以下、命題１０ー６８の補足２ (線分と分割の一方とが比例なら、線分と分割の双方とも、その上の正方形も比例)という。)
  
• 　正方(_ＡＢ)：正方(_ＡＥ)＝正方(_ＣＤ)：正方(_ＣＦ)
  となっている。

それゆえ
　ＡＢ上の正方形が
　　ＡＥ、ＥＢ上の正方形の和に対するように、
　ＣＤ上の正方形が
　　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和に対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１２（比例する前項の和と後項の和）
  により、
  　２正方(_ＡＢ)：正方(_ＡＥ)＋正方(_)ＥＢ
  　　＝２正方(_ＣＤ)：正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となり、
  　命題５ー４（同数倍の比）
  による。
  
• 　正方(_ＡＢ)：正方(_ＡＥ)＋正方(_)ＥＢ
  　　＝正方(_ＣＤ)：正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となっている。

したがって
いれかえて
　ＡＢ上の正方形が
　　ＣＤ上の正方形に対するように、
　ＡＥ、ＥＢ上の正方形の和が
　　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和に対する。

• 　前節、
  　命題５ー１６（比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　正方(_ＡＢ)：正方(_ＣＤ)
  　　＝正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)：正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となっている。

ところが
　ＡＢ上の正方形は
　　ＣＤ上の正方形と通約できる。
　　　　　　[......(３)]

• 　命題の設定、
  　命題１０ー９の系２(長さで通約なら平方で通約)
  による。
• 　正方(_ＡＢ)∩正方(_ＣＤ)
  となっている。

したがって
　ＡＥ、ＥＢ上の正方形の和も
　　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和と通約できる。
[......(６)]

• 　前節、前々節、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となっている。

そして
　ＡＥ、ＥＢ上の正方形の和は
　　有理面積であり、

• 　命題の設定による。　
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  となっている。

したがって
　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和も
　　有理面積である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、前々節、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積
  となっている。

同様にして
　矩形ＡＥ、ＥＢの２倍は
　　矩形ＣＦ、ＦＤの２倍と通約できる。

• 　(１)， 　定義６ー１（相似）
  により，
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)（相似）矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となり，
  　命題６ー２０の系(系.相似四辺形の比は対応辺の比の２乗)
  により，
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)：矩形(ＣＦ、ＦＤ)＝正方(_ＡＢ)：正方(_ＣＤ)
  となり、
  　(３)、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）、
  　定義１０ー１（通約）、
  による。
  
• この節により、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように、
  　ＥＢが
  　　ＦＤに対するなら、
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)が
  　　矩形(ＣＦ、ＦＤ)に対するように、
  　ＡＥ上の正方形が
  　　ＣＦ上の正方形に対し、
  　ＥＢ上の正方形が
  　　ＦＤ上の正方形に対する。
  (以下、命題１０ー６８の補足３ (線分と分割の一方とが比例なら、分割によりかこまれる矩形も、分割の上の正方形と比例)という。)
• 　２矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩２矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている．

そして
　短形ＡＥ、ＥＢの２倍は
　　中項面積である。

• 　命題の設定、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＡＥ、ＥＢ)；中項面積
  となっている。

したがって
　矩形ＣＦ、ＦＤの２倍も
　　中項面積である。

• 　前節、
  　定義の補足２（命題１０ー２３）(中項面積)
  による。
• 　２矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

ゆえに
　ＣＦ、ＦＤは
　　平方において通約できず、

• 　前節、
  　（５）、
  により、
  　ＡＥ：ＥＢ＝ＣＦ：ＦＤ
  となり、
  　命題６ー２２（４線分とその上の相似直線図形の比例）
  により、
  　正方(_ＡＥ)：正方(_ＥＢ)＝正方(_ＣＦ)：正方(_ＦＤ)
  となり、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）
  による。
• 　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ
  となっている。

　　それらの上の正方形の和を
　　　有理面積とし、
同時に
　　それらによってかこまれる矩形の２倍を
　　　中項面積とする。

• 　前々節、
  （６）による。
  
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)、
  　２矩形(ＣＦ、ＦＤ)；中項面積
  となっている。

したがって
　全体ＣＤは
　　優線分とよばれる無理線分である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足(命題１０ー３９)(優線分)
  による。
• 　定義の補足(命題１０ー３９)(優線分)
  によれば、
  　矩形ＣＦ、ＦＤの２倍について、
  ではなく、
  　矩形ＣＦ、ＦＤそのものについて、
  　中項面積
  となることが求められている。
  　本命題の証明における
  　矩形ＣＦ、ＦＤの２倍
  はすべて
  　矩形ＣＦ、ＦＤ
  として成立する。
  
• 　ＣＤ；優線分
  となっている。

よって
　優線分と通約できる線分は
　　優線分である。
これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６８は、
  　命題１０ー３３（作図.２線分；平方で非通約、平方和が有理面積、矩形が中項面積）
  　により、
  　線分ＡＥ,ＥＢ；
  　　,ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　,正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；有理面積
  　　,矩形(ＡＥ,ＥＢ)；中項面積
  をとれば、
  　命題１０ー３９（平方で非通約，平方和が有理面積，かこむ矩形が中項面積の２線分の和は優線分 ） により、
  　ＡＢ；優線分
  となり、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  により
  　ＣＤ；∩ＡＢ
  となり、
  　ＣＦ；ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ、
  　ＦＤ＝ＣＤーＦＤ
  をとれば、
  　ＣＦ¬∩^^2 ＦＤ
  　　,正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；有理面積
  　　,矩形(ＣＦ,ＦＤ)；中項面積
  となり、
  　ＣＤ；優線分
  のことである。
  
• 命題１０ー６８の補足 (線分と分割の一方とが比例なら、分割の他方とも比例)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	6-2補	5-11,5-17
  その他

• 命題１０ー６８の補足２ (線分と分割の一方とが比例なら、線分と分割の双方とも、その上の正方形も比例)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		5-16,5-18,5-19系,6-20系
  その他

• 命題１０ー６８の補足３ (線分と分割の一方とが比例なら、分割によりかこまれる矩形も、分割の上の正方形と比例)

  前提	作図	推論
  定義		6-1,10-1
  公準
  公理
  命題		6-20系,10-11
  その他

• 命題１０ー６８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		6-1,10-1,10-4補,補2(題10-23),補(題10-39)
  公準
  公理
  命題	6-2補,10-6系3,10-33	5-4,5-11,5-12,5-16,5-17,5-18,5-19系,6-20系,6-22,10-9系2,10-11,10-39
  その他

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