ユークリッド原論をどう読むか（９512）
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ユークリッド原論

第５巻

命題５ー１２（比例する前項の和と後項の和）
(準一般的な証明の簡易な一般的化)
もし
　任意個の量が比例するならば、
　前項の１つが
　後項の１つに対するように、
　前項の総和が
　後項の総和に対するであろう。

• 量は、定義５ー１の補足 による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 前項は、定義５ー１１の補足 による。
• 後項は、定義５ー１１の補足２ による。
• 対する・ようには 定義の補足３（命題５ー１１） による。

任意個の量
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、［・・・、］Ｅ、Ｆが比例し、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに、
　［・・・、］
　ＥがＦに
　対するとせよ。

• 　奇数番目(前項)と偶数番目(後項)とが
  　比例している
  という意味である。
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  参照のこと。
• 　［・・・、］
  で
  　簡易な一般化
  をおこっている。
  (以下、コメント（命題５ー１２） (準一般的な証明の簡易な一般的化)という。)
  　準一般的な証明の一般化の方法は、
  　コメント５（命題５ー１）
  　参照のこと。
• 同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は
  コメント２（命題５ー４）参照のこと。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ、［・・・、］Ｅ
  をとり、
  　それら
  に対して、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ＝［・・・＝］Ｅ：Ｆ
  となるように
  　Ｄ、［・・・、］Ｆ
  をとっている。

ＡがＢに対するように
　Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅの和が
　Ｂ、Ｄ、［・・・、］Ｆの和に対するであろう。
　
Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅの［任意の］同倍数Ｇ、Ｈ、［・・・、］Ｋと
　Ｂ、Ｄ、［・・・、］Ｆの別の任意の同倍数Ｌ、Ｍ、［・・・、］Ｎとが
　とられたとせよ。【・・・(a)】

• 推論の設定である。
• ［任意の］同数倍は、コメント（命題５ー４）参照のこと。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　(Ｇ、Ｈ、［・・・、］Ｋ)＝ｍ(Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅ)、
  　(Ｌ、Ｍ、［・・・、］Ｎ)＝ｎ(Ｂ、Ｄ、［・・・、］Ｆ)
  をとっている。

　
そうすれば
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに、
　［・・・、］
　ＥがＦに対し、

• 命題の設定 による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ＝［・・・＝］Ｅ：Ｆ
  となっている。

　そして
　Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅの同倍数Ｇ、Ｈ、［・・・、］Ｋと
　Ｂ、Ｄ、［・・・、］Ｆの同倍数Ｌ、Ｍ、［・・・、］Ｎと
　がとられたから、

• (a) による。
• 　(Ｇ、Ｈ、［・・・、］Ｋ)＝ｍ(Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅ)、
  　(Ｌ、Ｍ、［・・・、］Ｎ)＝ｎ(Ｂ、Ｄ、［・・・、］Ｆ)
  をとっている。

　もし
　ＧがＬより大きければ、
　ＨもＭより、
　［・・・、］
　ＫもＮより大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ、小さい。

• 定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　Ｇ(＜、＝、＞)Ｌ
  ならば、
  　Ｈ(＜、＝、＞)Ｍ、
  　［・・・、］
  　Ｋ(＜、＝、＞)Ｎ
  となっている。

それゆえもし
　ＧがＬより大きければ、
　Ｇ、Ｈ、［・・・、］Ｋの和はＬ、Ｍ、［・・・、］Ｎの和より大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ、小さい。【・・・(1)】

• 公理１ー４（不等なものに等しいものを加える） 、
  公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　Ｇ(＜、＝、＞)Ｌ
  ならば、
  　Ｇ＋Ｈ＋［・・・＋］Ｋ
  　(＜、＝、＞)
  　　Ｌ＋Ｍ＋［・・・＋］Ｎ
  となっている。

そして
　もし
　任意個の量があり、
　それらと同数の別の《任意個の》量の
　　それぞれ同倍数であるならば、
　それらの量の１つが
　１つの何倍であろうと
　全体も全体の同じ倍数であろうから、

• 命題５ー１（同数倍の和１）
  を述べている。

　ＧはＡの、
　Ｇ、Ｈ，［・・・、］Ｋの和はＡ、Ｃ，［・・・、］Ｅの和の
　同数倍である。【・・・(2)】

• 命題５ー１（同数倍の和１）
  による。
• 　倍数(Ｇ,Ａ)＝倍数(Ｇ＋Ｈ＋［・・・＋］Ｋ
  　,Ａ＋Ｃ＋［・・・＋］Ｅ)＝ｍ
  となっている。

同じ理由で
　ＬはＢの、
　Ｌ、Ｍ、Ｎの和はＢ、Ｄ、Ｆの和の
　同倍数である。【・・・(3)】

• 　倍数(Ｌ,Ｂ)＝倍数(Ｌ＋Ｍ＋［・・・＋］Ｎ
  　,Ｂ＋Ｄ＋［・・・＋］Ｅ)＝ｎ
  となっている。

ゆえに
　ＡがＢに対するように、
　Ａ、Ｃ、［・・・、］Ｅの和がＢ、Ｄ、［・・・、］Ｆの和に対する。

• (1) (2) (3) 定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ａ＋Ｃ＋［・・・＋］Ｅ：Ｂ＋Ｄ＋［・・・＋］Ｆ
  となっている。

　
よって
　もし任意個の量が比例するならば、
　前項の１つが後項の１つに対するように、
　前項の総和が後項の総和に対するであろう。
これが証明すべきことであった。

• Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ＝・・・＝Ｅ：Ｆなら
  　Ａ＋Ｃ＋・・・＋Ｅ：Ｂ＋Ｄ＋・・・＋Ｆ
  　＝Ａ：Ｂのことである。
• 命題５ー１２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5
  公準
  公理		1-2,1-4
  命題	補(義5-2)	5-1
  その他		コ2(題5-1),コ5(題5-1),コ(題5-4),コ2(題5-4)

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