ユークリッド原論をどう読むか(10)
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ユークリッド原論
第6巻
命題6ー2
(三角形の辺の平行線による辺の比例区分)
(
作図.
比例第4項の作図)
もし
三角形
の1
辺
に
平行
に
直線
がひかれるならば、
三角形
の2
辺
を
比例
するように分けるであろう。
そしてもし
三角形
の2
辺
が
比例
するように分けられるならば、
区分
点
を結ぶ
直線
は
三角形
の残りの1
辺
に
平行
であろう。
三角形は、
定義1ー19の補足2
による。
辺は、
定義1ー19の補足
による。
平行は、
定義1ー23
による。
直線は、
定義1ー4
による。
比例は、
定義5ー6
による。
点は、
定義1ー1
による。
三角形
ABCの1
辺
BCに
平行
に
直線
DEがひかれたとせよ。
公準1ー1の補足
により、
辺AB上に点Dをとる。
命題1ー31
により、
Dを通り、BCに平行に直線をひく。
この直線は、
命題の補足2(定義1ー14)
により、
三角形とD以外に交点をもつが、
辺BAとその交点をもてば
公理1ー9
により直線ABと一致し、
BCと交わるので、
BCと平行であるから不可能である。
辺BCと交点をもつことも
BCと平行であるから不可能である。
よって辺ACと交わる。
BDがDAに
対するように
、
CEがEAに
対する
と主張する。
BE、CDが結ばれたとせよ。
【・・・(a)】
推論のための作図である。
公準1ー1
による。
そうすれば
三角形
BDEは
三角形
CDEに
等しい
。
【・・・(1)】
命題の前半の設定
、
命題1ー37
による。
なぜなら
同じ
底辺
DE上に
同じ
平行線
DE、BCの間にあるから。
命題1ー37
に当てはめている。
「なぜなら・・・である(から)」については、
コメント2(命題1ー16)
参照のこと。
そして
三角形
ADEは別ものである。
ところで
2つの
等しい
ものは
同じものに
対し
同じ比
をもつ。
命題5ー7
のことである。
それゆえ
三角形
BDEが
三角形
ADEに
対するように
、
三角形
CDEが
三角形
ADEに
対する
。
【・・・(2)】
(1)
,
命題5ー7
による。
ところが
三角形
BDEが
三角形
ADEに
対するように
、
BDがDAに
対する
。
【・・・(3)】
命題6ー1
による。
なぜなら
同じ
高さ
、
すなわち
EからABへ下された
垂線
をもつから、
それらは互いに
底辺
に
比例
する。
命題6ー1
のことである。
「なぜなら・・・である(から)」については、
コメント2(命題1ー16)
参照のこと。
同じ理由で
三角形
CDEがADEに
対するように
、
CEがEAに
対する
。
【・・・(4)】
(1)
,
命題5ー7
,
命題6ー1
による。
ゆえに
BDがDAに
対するように
、
CEがEAに
対する
。
(2)
(3)
(4)
,
命題5ー11
による。
また
三角形
ABCの2
辺
AB、ACが
比例
するように分けられ、
BDがDAに
対するように
、
CEがEAに
対し
、
本命題の前半と同じように、
点Dをとり、
Dを通り辺BCに平行に直線をひく。
この直線は辺ACと交わり、
その交点をEとする。
本命題の前半によりに、
BDがDAに対するように、
CEがEAに対する。
比例区分点の作図としては上記のようになるが、
比例区分点であることが
保証されているとしたら
その区分点を通る直線は
底辺と平行である
というのが
後半の趣旨である。
DEが結ばれたとせよ。
DEはBCに
平行
である
と主張する。
命題の後半である。
同じ作図がなされたとき、
(a)
のことである。
BDがDAに
対するように
、
CEがEAに
対し
、
【・・・(5)】
命題の後半の設定
である。
BDがDAに
対するように
、
三角形
BDEが
三角形
ADEに
対し
、
【・・・(6)】
命題6ー1
による。
CEがEAに
対するように
、
三角形
CDEが
三角形
ADEに
対する
。
【・・・(7)】
命題6ー1
による。
それゆえ
三角形
BDE、CDEの双方は
ADEに
対し
て
同じ比
をもつ。
(5)
(6)
(7)
,
命題5ー11
による。
ゆえに
三角形
BDEは
三角形
CDEに
等しい
。
【・・・(8)】
命題5ー9
による。
そして
同じ
底辺
DEの上にある。
【・・・(9)】
命題の後半の設定
による。
ところが
同じ
底辺
上にあ[り、同じ側にあ]る
等しい
三角形
は
同じ
平行線
の間にある。
命題1−39
のことである。
したがって
DEはBCに
平行
である。
(8)
(9)
,
命題1−39
による。
よってもし
三角形
の1
辺
に
平行
に
直線
がひかれるならば、
三角形
の2
辺
を
比例
するように分けるであろう。
そしてもし
三角形
の2
辺
が
比例
するように
分けられるならば、
区分
点
を結ぶ
直線
は
三角形
の残りの1
辺
に
平行
であろう。
これが証明すべきことであった。
この命題により、
与えられた3線分、A、B、Cについて、
AがBに対するように、
CがDに対することになる
Dを作図することができる。
(以下、
命題6ー2の補足
(作図.比例第4項)という。)
点Eを始点とする
半直線EF、EGにおいて
命題1ー3の補足
により
EF上に
HをEHがAに等しくなるようにとり、
さらに
KをHKがBに等しくなるようにとり、
EG上に
LをELがCに等しくなるようにとる。
公準1ー1
により
H、Lを結び、
命題1ー31
により
Kを通り、HLに平行に
直線KMを引く。
命題1ー30の補足
により、
KMはEGと交わる。
この点をNとする。
KMについて
EとHは同じ側にあるから、
定義1ー23
により
HKもEと同じ側にあり、
半直線EGにおいて、
Nについて、
E、Kは同じ側にある。
命題6ー2
により
EHがHKに対するように
ELがENに対する。
EH、HK、ELが
それぞれA、B、Cに等しいから、
命題5ー11の補足2
により、
ENがDとなる。
この
命題6ー2の補足
により、
これまで
コメント2(命題5ー4)
で指摘したような
仮想的な命題の設定の上で行ってきた理論構成を
今後は、
現実的に作図される命題の設定の上での
理論構成となる。
命題6ー2の補足
は作図用命題である。
前提
作図
推論
定義
1-23
公準
1-1
公理
命題
1-3補
,
1-30補
,
1-31
5-11補2
,
6-2
その他
命題6ー2
は推論用命題である。
前提
作図
推論
定義
公準
1-1
,
1-1補
公理
1-9
命題
補2(義1-14)
,
1-31
,
1-37
,
1-39
,
5-7
,
5-9
,
5-11
,
6-1
その他
コ2(題1-16)
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