ユークリッド原論をどう読むか(10)
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ユークリッド原論

第6巻

命題6ー2(三角形の辺の平行線による辺の比例区分)
作図.比例第4項の作図)
もし
 三角形の1平行
  直線がひかれるならば、
 三角形の2
 比例するように分けるであろう。
そしてもし
 三角形の2
 比例するように分けられるならば、
 区分を結ぶ直線
 三角形の残りの1平行であろう。


三角形ABCの1BCに平行
 直線DEがひかれたとせよ。

 BDがDAに対するように
 CEがEAに対すると主張する。
 
BE、CDが結ばれたとせよ。 【・・・(a)】

そうすれば
 三角形BDEは三角形CDEに等しい【・・・(1)】

なぜなら
 同じ底辺DE上に
 同じ平行線DE、BCの間にあるから。

そして
 三角形ADEは別ものである。
ところで
 2つの等しいものは
 同じものに対し同じ比をもつ。

それゆえ
 三角形BDEが三角形ADEに対するように
 三角形CDEが三角形ADEに対する【・・・(2)】
ところが
 三角形BDEが三角形ADEに対するように
 BDがDAに対する【・・・(3)】

なぜなら
 同じ高さ
 すなわち
  EからABへ下された垂線
 をもつから、
 それらは互いに底辺比例する。

同じ理由で
 三角形CDEがADEに対するように
 CEがEAに対する【・・・(4)】

ゆえに
 BDがDAに対するように
 CEがEAに対する

また
 三角形ABCの2AB、ACが
  比例するように分けられ、
 BDがDAに対するように
 CEがEAに対し

 DEが結ばれたとせよ。
DEはBCに平行である
 と主張する。

 
同じ作図がなされたとき、

 BDがDAに対するように
 CEがEAに対し【・・・(5)】

 BDがDAに対するように
 三角形BDEが三角形ADEに対し【・・・(6)】

 CEがEAに対するように
 三角形CDEが三角形ADEに対する【・・・(7)】

それゆえ
 三角形BDE、CDEの双方は
 ADEに対し同じ比をもつ。

ゆえに
 三角形BDEは三角形CDEに等しい【・・・(8)】

そして
 同じ底辺DEの上にある。【・・・(9)】

ところが
 同じ底辺上にあ[り、同じ側にあ]る等しい三角形
 同じ平行線の間にある。

したがって
 DEはBCに平行である。


よってもし
 三角形の1平行
  直線がひかれるならば、
 三角形の2
 比例するように分けるであろう。
そしてもし
 三角形の2比例するように
 分けられるならば、
 区分を結ぶ直線
 三角形の残りの1平行であろう。
これが証明すべきことであった。
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