ユークリッド原論をどう読むか（１０）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第６巻

命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
（作図.比例第４項の作図）
もし
　三角形の１辺に平行に
　　直線がひかれるならば、
　三角形の２辺を
　比例するように分けるであろう。
そしてもし
　三角形の２辺が
　比例するように分けられるならば、
　区分点を結ぶ直線は
　三角形の残りの１辺に平行であろう。

• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 辺は、定義１ー１９の補足 による。
• 平行は、定義１ー２３ による。
• 直線は、定義１ー４ による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 点は、定義１ー１ による。

三角形ＡＢＣの１辺ＢＣに平行に
　直線ＤＥがひかれたとせよ。

• 公準１ー１の補足 により、
  辺ＡＢ上に点Ｄをとる。
  　命題１ー３１ により、
  　Ｄを通り、ＢＣに平行に直線をひく。
  この直線は、
  　命題の補足２（定義１ー１４） により、
  　三角形とＤ以外に交点をもつが、
  　　辺ＢＡとその交点をもてば
  　　　公理１ー９ により直線ＡＢと一致し、
  　　　ＢＣと交わるので、
  　　　ＢＣと平行であるから不可能である。
  　　辺ＢＣと交点をもつことも
  　　　ＢＣと平行であるから不可能である。
  よって辺ＡＣと交わる。
  

　ＢＤがＤＡに対するように、
　ＣＥがＥＡに対すると主張する。
　
ＢＥ、ＣＤが結ばれたとせよ。 【・・・(a)】

• 推論のための作図である。
• 公準１ー１ による。

そうすれば
　三角形ＢＤＥは三角形ＣＤＥに等しい。 【・・・(1)】

• 命題の前半の設定 、命題１ー３７ による。

なぜなら
　同じ底辺ＤＥ上に
　同じ平行線ＤＥ、ＢＣの間にあるから。

• 命題１ー３７ に当てはめている。
• 「なぜなら・・・である（から）」については、
  　コメント２（命題１ー１６） 参照のこと。

そして
　三角形ＡＤＥは別ものである。
ところで
　２つの等しいものは
　同じものに対し同じ比をもつ。

• 命題５ー７ のことである。

それゆえ
　三角形ＢＤＥが三角形ＡＤＥに対するように、
　三角形ＣＤＥが三角形ＡＤＥに対する。【・・・(2)】

• (1) ,命題５ー７ による。

ところが
　三角形ＢＤＥが三角形ＡＤＥに対するように、
　ＢＤがＤＡに対する。【・・・(3)】

• 命題６ー１ による。

なぜなら
　同じ高さ、
　すなわち
　　ＥからＡＢへ下された垂線
　をもつから、
　それらは互いに底辺に比例する。

• 命題６ー１ のことである。
• 「なぜなら・・・である（から）」については、
  　コメント２（命題１ー１６） 参照のこと。

同じ理由で
　三角形ＣＤＥがＡＤＥに対するように、
　ＣＥがＥＡに対する。【・・・(4)】

• (1) ,命題５ー７ ,命題６ー１ による。

ゆえに
　ＢＤがＤＡに対するように、
　ＣＥがＥＡに対する。

• (2) (3) (4) ,命題５ー１１ による。

また
　三角形ＡＢＣの２辺ＡＢ、ＡＣが
　　比例するように分けられ、
　ＢＤがＤＡに対するように、
　ＣＥがＥＡに対し、

• 本命題の前半と同じように、
  　点Ｄをとり、
  　Ｄを通り辺ＢＣに平行に直線をひく。
  この直線は辺ＡＣと交わり、
  　その交点をＥとする。
  本命題の前半によりに、
  　ＢＤがＤＡに対するように、
  　ＣＥがＥＡに対する。
  
• 比例区分点の作図としては上記のようになるが、
  　比例区分点であることが
  　保証されているとしたら
  　その区分点を通る直線は
  　底辺と平行である
  　というのが
  　後半の趣旨である。
  

　ＤＥが結ばれたとせよ。
ＤＥはＢＣに平行である
　と主張する。

• 命題の後半である。

　
同じ作図がなされたとき、

• (a) のことである。

　ＢＤがＤＡに対するように、
　ＣＥがＥＡに対し、【・・・(5)】

• 命題の後半の設定 である。

　ＢＤがＤＡに対するように、
　三角形ＢＤＥが三角形ＡＤＥに対し、【・・・(6)】

• 命題６ー１ による。

　ＣＥがＥＡに対するように、
　三角形ＣＤＥが三角形ＡＤＥに対する。【・・・(7)】

• 命題６ー１ による。

それゆえ
　三角形ＢＤＥ、ＣＤＥの双方は
　ＡＤＥに対して同じ比をもつ。

• (5) (6) (7) ,命題５ー１１ による。

ゆえに
　三角形ＢＤＥは三角形ＣＤＥに等しい。【・・・(8)】

• 命題５ー９ による。

そして
　同じ底辺ＤＥの上にある。【・・・(9)】

• 命題の後半の設定 による。

ところが
　同じ底辺上にあ［り、同じ側にあ］る等しい三角形は
　同じ平行線の間にある。

• 命題１−３９ のことである。

したがって
　ＤＥはＢＣに平行である。

• (8) (9) ,命題１−３９ による。

よってもし
　三角形の１辺に平行に
　　直線がひかれるならば、
　三角形の２辺を
　比例するように分けるであろう。
そしてもし
　三角形の２辺が比例するように
　分けられるならば、
　区分点を結ぶ直線は
　三角形の残りの１辺に平行であろう。
これが証明すべきことであった。

• この命題により、 　与えられた３線分、Ａ、Ｂ、Ｃについて、
  　ＡがＢに対するように、
  　ＣがＤに対することになる
  　Ｄを作図することができる。
  （以下、命題６ー２の補足 （作図.比例第４項）という。）
  点Ｅを始点とする
  　半直線ＥＦ、ＥＧにおいて
  　命題１ー３の補足 により
  　ＥＦ上に
  　ＨをＥＨがＡに等しくなるようにとり、
  　さらに
  　ＫをＨＫがＢに等しくなるようにとり、
  　ＥＧ上に
  　ＬをＥＬがＣに等しくなるようにとる。
  公準１ー１により
  　Ｈ、Ｌを結び、
  　命題１ー３１ により
  　Ｋを通り、ＨＬに平行に
  　直線ＫＭを引く。
  命題１ー３０の補足 により、
  　ＫＭはＥＧと交わる。
  この点をＮとする。
  ＫＭについて
  　ＥとＨは同じ側にあるから、
  　定義１ー２３ により
  　ＨＫもＥと同じ側にあり、
  　半直線ＥＧにおいて、
  　Ｎについて、
  　Ｅ、Ｋは同じ側にある。
  命題６ー２ により
  　ＥＨがＨＫに対するように
  　ＥＬがＥＮに対する。
  ＥＨ、ＨＫ、ＥＬが
  　それぞれＡ、Ｂ、Ｃに等しいから、
  　命題５ー１１の補足２ により、
  　ＥＮがＤとなる。
  　
• この命題６ー２の補足 により、
  　これまで
  　コメント２（命題５ー４） で指摘したような
  　仮想的な命題の設定の上で行ってきた理論構成を
  　今後は、
  　現実的に作図される命題の設定の上での
  　理論構成となる。
  　
• 命題６ー２の補足は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-23
  公準	1-1
  公理
  命題	1-3補,1-30補,1-31	5-11補2,6-2
  その他

  　
• 命題６ー２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1 ,1-1補
  公理		1-9
  命題		補2(義1-14) ,1-31 ,1-37 ,1-39 ,5-7 ,5-9 ,5-11 ,6-1
  その他		コ2(題1-16)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭