ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー６９（中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺と長さ通約の辺)
　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
　と通約できる線分は
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
　である。

• 中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺は、
  定義の補足（命題１０ー４０）による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 線分は、
  定義の補足（命題１ー１）による。

　ＡＢを
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺とし、
　ＣＤを
　　ＡＢと通約できる
とせよ。
　ＣＤも
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺である
ことを証明しなければならない。

• 　命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
  により、
  　線分ＡＥ,ＥＢ；
  　　,ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　,正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；中項面積
  　　,矩形(ＡＥ,ＥＢ)；有理面積
  をとれば、
  　命題１０ー４０（平方で非通約、平方和が中項面積、かこむ矩形が有理面積の２線分の和は、中項と有理面積の和となる正方形の辺）、
  　命題１０ー６の系３（作図.長さ・平方で通約可の線分)
  による。
• 　ＡＢ；中項と有理面積の和となる正方形の辺
  　ＣＤ∩ＡＢ
  となっている。

　ＡＢが
　　Ｅで二つの線分に分けられた
とせよ。
そうすれば
　ＡＥ、ＥＢは
　　平方において通約できず、
　　それらの上の正方形の和を中項面積とし、
　　それらによってかこまれる矩形を有理面積
とする。

• 前節による。
• 　ＡＢ：無理線分、
  　　ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ、
  　　、正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；中項面積
  　　、矩形(ＡＥ,ＥＢ)；有理面積
  となっている。
  

　前と同じ作図がなされた
とせよ。

• 　命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  により、
  　ＡＢが
  　　ＣＤに対するように、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように
  　Ｆをとる。
• 　ＡＢ：ＣＤ＝ＡＥ：ＣＦ
  となっている。

そうすれば
同様にして
　ＣＦ、ＦＤが
　　平方において通約できず、
　ＡＥ、ＥＢ上の正方形の和が
　　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和と、
　矩形ＡＥ、ＥＢが
　　矩形ＣＦ、ＦＤと通約できる
ことを証明しうる。

• 　前節、
  　命題１０ー６８の補足２(線分と分割の一方とが比例なら、線分と分割の双方とも、その上の正方形も比例)、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）、
  により、
  　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ
  となり、
  　命題５ー１８（分割比で比例なら合比でも比例）、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）、
  により、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)
  となり、
  　命題１０ー６８の補足３(線分と分割の一方とが比例なら、分割によりかこまれる矩形も、分割の上の正方形と比例)、
  　命題１０ー１１（４量比例で一方が通約なら他方も通約）、
  による。
  
• 　ＣＦ¬∩^2 ＦＤ、
  　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)∩正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)、
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)
  となっている。

したがって
　ＣＦ、ＦＤ上の正方形の和も
　　中項面積であり、
　矩形ＣＦ、ＦＤは
　　有理面積である。

• 　前節、
  　命題の設定、
  　命題１０ー２３の系 (中項面積と通約なら中項面積)、
  　定義１０ー４の補足（有理面積、無理面積）
  による。
• 　正方(_ＣＦ)＋正方(_ＦＤ)；中項面積、
  　矩形(ＡＥ、ＥＢ)∩矩形(ＣＦ、ＦＤ)；有理面積
  となっている。

よって
　ＣＤは
　　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
である。

• 　前節、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）、
  　定義の補足（命題１０ー４０）(中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺)
  による。
• 　ＣＤ；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  となっている。

　これが証明すべきことであった。

• 命題１０ー６９は、
  　命題１０ー３４（作図.２線分；平方で非通約、平方和が中項面積、矩形が有理面積）
  により、
  　線分ＡＥ,ＥＢ；
  　　,ＡＥ¬∩^^2 ＥＢ
  　　,正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＢ)；中項面積
  　　,矩形(ＡＥ,ＥＢ)；有理面積
  をとり、
  　命題６ー２の補足（作図.比例第４項）
  により、
  　ＡＢが
  　　ＣＤに対するように、
  　ＡＥが
  　　ＣＦに対するように
  　Ｆをとると、
  　ＣＤ；中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺
  のことである。
  
• 命題１０ー６９は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		10-4補,補(題10-49)
  公準
  公理
  命題	6-2補,10-6系3,10-34	2-4,5-18,10-11,10-23系,10-40,10-68補足2,10-68補足3
  その他

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