ユークリッド原論をどう読むか（９504）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー４（同じ比の項の同数倍）
［任意の］同数倍
同じ比をもつ線分の作図（仮想的）
もし
第１の量が第２に対し、
第３が第４に対すると
同じ比をもつならば、
第１と第３の同数倍は
第２と第４の同数倍に対して、
何倍されようとも
同順にとられるとき、
同じ比をもつであろう。
第１の量Ａが
第２のＢに対し、
第３のＣが
第４のＤに対すると
同じ比をもつとし、
Ａ［、］Ｃの［任意の］同数倍Ｅ、Ｆと
Ｂ、Ｄの他の任意の同数倍Ｇ、Ｈが
とられたとせよ。
-
任意の比の作図は、
原理的には、命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
命題としては、命題６ー１０（作図.線分の区分）
まで待たねばならない。
量の倍の場合を手掛かりにして、
定義５ー５（同じ比）
を構成し、
同じ比をもつ線分の作図を
命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
における量の倍により可能な範囲で行い、
「同じ比をもつとし」と
仮想的な命題の設定をして、
以降の理論構成をしている。
（以下、コメント２（命題５ー４）(同じ比をもつ線分の作図（仮想的）)という。）
-
量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
による。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ、
Ｅ＝ｍＡ、
Ｆ＝ｍＣ、
Ｇ＝ｎＢ、
Ｈ＝ｎＤ
をとっている。
ＥがＧに対するように、
ＦがＨに対する
と主張する。
Ｅ、Ｆの［任意の］同数倍Ｋ、Ｌと
Ｇ、Ｈの他の任意の同数倍Ｍ、Ｎとが
とられたとせよ。
【・・・(a)】
- Ｅ：ＦとＧ：Ｈが
同じ比かどうか、
定義５ー５（同じ比）
に基づいて
判定しようとしている。
推論の設定である。
-
定義５ー５（同じ比）
に基づいて
同じ比かどうか判定する場合、
一方の任意の同数倍と
他方の任意の同数倍と
を比較するのが正当である。
したがって
前者にも「任意の」が記述されなばならない。
（以下、コメント（命題５ー４）(［任意の］同数倍)という。）
-
Ｋ＝ｐＥ、
Ｌ＝ｐＦ、
Ｍ＝ｑＧ、
Ｎ＝ｑＨ
をとっている。
ＥはＡの、
ＦはＣの同数倍であり、
- 命題の設定
による。
-
Ｅ＝ｍＡ、
Ｆ＝ｍＣ、
となっている。
Ｅ、Ｆの同数倍Ｋ、Ｌがとられたから、
- (a)
による。
-
Ｋ＝ｐＥ、
Ｌ＝ｐＦ、
となっている。
ＫはＡの、
ＬはＣの
同数倍である。
【・・・(1)】
同じ理由で
ＭはＢの、
ＮはＤの
同数倍である。
【・・・(2)】
そして
ＡがＢに対するように、
ＣはＤに対し、
- 命題の設定 による。
-
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
となっている。
しかも
Ａ、Ｃの同数倍Ｋ、Ｌと
Ｂ、Ｄの他の任意の同数倍Ｍ、Ｎが
とられたから、
- (1)
(2)
による。
-
Ｋ＝ｐｍＡ、
Ｌ＝ｐｍＣ、
Ｍ＝ｑｎＢ、
Ｎ＝ｑｎＤ
となっている。
もし
ＫがＭより大きければ、ＬはＮより大きく、
等しければ、等しく、
小さければ小さい。【・・・(3)】
- 命題の設定 、定義５ー５（同じ比）
による。
-
Ｋ(＜,＝,＞)Ｍ
ならば
Ｌ(＜,＝,＞)Ｎ
となっている。
そして
Ｋ、Ｌは
Ｅ、Ｆの同数倍であり、
Ｍ、Ｎは
Ｇ、Ｈの他の任意の同数倍である。
- (a)
による。
-
Ｋ＝ｐＥ、
Ｌ＝ｐＦ、
Ｍ＝ｑＧ、
Ｎ＝ｑＨ
となっている。
したがって
ＥがＧに対するように、
ＦがＨに対する。
よってもし
第１の量が第２に対し、
第３が第４に対すると
同じ比をもつならば、
第１と第３の同数倍は
第２と第４の同数倍に対して、
何倍されようとも同順にとられるとき、
同じ比をもつであろう。
これが証明すべきことであった。
- 命題５ー４は、
Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
なら
ｍＡ：ｎＢ＝ｍＣ：ｎＤ
のことである。
- 命題５ー４は推論用命題である。
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