ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー１６（非通約量はその和・差とも非通約）
もし
２つの通約できない量が加えられる
ならば、
全体もそれらの双方と通約できない
であろう。
そして
もし
全体がそれらの一方と通約できない
ならば、
最初の２量も通約できない
であろう。
２つの通約できない量
ＡＢ、ＢＣが加えられた
とせよ。
-
「量（について）・・・とせよ」は、
コメント６（命題５ー１）
参照のこと。
-
命題１０ー１０
（作図.長さ・平方において通約でない線分）
により、
ＡＢ、ＢＣをとる。
-
ＡＢ¬∩ＢＣ
となっている。
ＡＣ全体も
ＡＢ、ＢＣの双方と通約できない
と主張する。
もし
ＣＡ、ＡＢが通約できなくない
ならば、
何らかの量がそれらを割り切る
であろう。
もし可能ならば、
割り切る
とし、
それをＤ
とせよ。
-
背理法の仮定である。
-
「もし可能ならば」は、
コメント２(命題１−７）
参照のこと。
-
Ｄ｜ＣＡ、Ｄ｜ＡＢ
となっている。
そうすれば
ＤはＣＡ、ＡＢを割り切る
から、
残りのＢＣをも割り切る
であろう。
そして
ＡＢをも割り切る。
したがって
ＤはＡＢ、ＢＣを割り切る。
-
前節、前々節による。
-
Ｄ｜ＡＢ、Ｄ｜ＢＣ
となっている。
それゆえ
ＡＢ、ＢＣは通約できる。
ところが
通約できない
と仮定された。
これは不可能である。
したがって
いかなる量も
ＣＡ、ＡＢを割り切らない
であろう。
ゆえに
ＣＡ、ＡＢは通約できない。
同様にして
ＡＣ、ＣＢも通約できない
ことを証明しうる。
したがって
ＡＣはＡＢ、ＢＣの双方と通約できない。
-
前節、前々節による。
-
ＡＣ¬∩ＡＢ、ＡＣ¬∩ＢＣ
となっている。
次に
ＡＣがＡＢ、ＢＣの一方と
通約できない
とせよ。
まず
ＡＢと通約できない
とせよ。
[......(ａ)]
ＡＢ、ＢＣも通約できない
と主張する。
もし
通約できる
ならば、
何らかの量がそれらを割り切る
であろう。
割り切る
とし、
それをＤ
とせよ。
-
背理法の仮定である。
-
Ｄ｜ＡＢ、Ｄ｜ＢＣ
となっている。
そうすれば
ＤはＡＢ、ＢＣを割り切る
から、
ＡＣ全体をも割り切る
であろう。
そして
ＡＢをも割り切る。
したがって
ＤはＣＡ、ＡＢを割り切る。
-
前節、前々節による。
-
Ｄ｜ＣＡ、Ｄ｜ＢＣ
となっている。
それゆえ
ＣＡ、ＡＢは通約できる。
ところが
通約できない
と仮定された。
これは不可能である。
したがって
いかなる量も
ＡＢ、ＢＣを割り切らない
であろう。
ゆえに
ＡＢ、ＢＣは通約できない。
-
前節、
定義１０ー１（通約）
による。
-
ＡＢ¬∩ＢＣ
となっている。
［次に、
ＡＣがＢＣと通約できない
としても、
同様にして
ＡＢ、ＢＣは通約できない
ことを証明しうる。］
よって
もし
２つの［通約できない］量が云々
-
云々は
「加えられる
ならば、
全体もそれらの双方と通約できない
であろう。
そして
もし
全体がそれらの一方と通約できない
ならば、
最初の２量も通約できない
であろう。」
-
命題１０ー１６は、
Ａ¬∩Ｂ
ならば、
Ａ十Ｂ¬∩Ａ、Ａ＋Ｂ¬∩Ｂ
およびその逆
Ａ＋Ｂ¬∩Ａ
ならば、
Ａ¬∩Ｂ
のことである。
- 命題１０ー１６は推論用命題である。
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