ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー８（量が数：数でないなら非通約）

もし
　２つの量が
　互いに
　数が数に対する比をもたない
ならば、
　それらの量は通約できない
であろう。

• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。
• 通約は、
  定義１０ー１による。

　２つの量Ａ、Ｂが
　互いに
　数が数に対する比をもたない
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
  　数が数に対する比をもたない２量の作図は、
  　結果的には
  　「通約できない量を表す線分の作図（仮想的）」による。
  コメント(命題１０ー７）
  　参照のこと。
  

　量Ａ、Ｂは通約できない
と主張する。

もし
　通約できる
ならば、

• 　背理法の仮定である。
• 　Ａ∩Ｂ
  となっている。
  

　ＡはＢに対し
　数が数に対する比をもつ
であろう。

• 　命題１０ー５（通約可能なら数：数の比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝数：数
  となっている。
  

ところが
　そうでない。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ：Ｂ≠数：数
  となっている。
  

したがって
　量Ａ、Ｂは通約できない。

• 　背理法による。
• 　Ａ¬∩Ｂ
  となっている。
  

よって
もし
　２つの量が互いに云々

• 　云々は
  　「数が数に対する比をもたない
  ならば、
  　それらの量は通約できない
  であろう。」
  である。

［これが証明すべきことであった。］

• 命題１０ー８は、
  　Ａ：Ｂ≠数：数
  ならば
  　Ａ¬∩Ｂ
  のことである。
• 命題１０ー８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-5
  その他	コ6(題5-1),コ(題10-7)

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