ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論

第１０巻
　
命題１０ー７（非通約量は数：数にならない）
通約できない量を表す線分の作図（仮想的）

　通約できない量は
　互いに
　数が数に対する比をもたない。

• 通約は、
  定義１０ー１による。
• 量は、
  定義５ー１の補足による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。

　Ａ、Ｂを通約できない量
とせよ。

• 　「量（について）・・・とせよ」は、
  　コメント６（命題５ー１）
  　参照のこと。
  また、 通約できない２量を表す線分の具体的な作図は
  　命題１０ー１０（作図.長さのみ・平方でも通約できない線分）
  まで待たねばならない。
  　通約できない２線分の作図を
  　定義１０ー１（通約）
  により、
  　可能な範囲で行い、
  　「通約できない」と
  　仮想的な命題の設定をして、
  　以降の理論構成をしている。
  (以下、コメント（命題１０ー７） (通約できない量を表す線分の作図（仮想的）)という。)
  

　ＡはＢに対し
　数が数に対する比をもたない
と主張する。

もし
　ＡがＢに対し
　数が数に対する比をもつ
ならば、

• 　背理法の仮定である。

　ＡはＢと通約できる
であろう。

• 　前節、
  　命題１０ー６（量が数：数なら通約可）
  による。
• 　Ａ∩Ｂ
  となっている。
  

ところが
　そうでない。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ¬∩Ｂ
  となっている。
  

したがって
　ＡはＢに対し数が数に対する比をもたない。

• 　背理法による。

よって
　通約できない量は互いに云々。

• 　云々は、
  　「数が数に対する比をもたない。」
  である。

• 命題１０ー７は
  　Ａ¬∩Ｂ
  ならば
  　Ａ：Ｂ≠ｍ：ｎ(数)
  のことである。
• 命題１０ー７は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		10-6
  その他	コ6(題5-1)

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