ユークリッド原論をどう読むか（１０）
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第６巻
命題６ー３０（作図.外中比）
与えられた線分を
外中比に分けること。
与えられた線分をＡＢとせよ。
このとき
線分ＡＢを
外中比に分けねばならぬ。
ＡＢ上に正方形ＢＣが描かれ、
【・・・(a)】
-
命題１−４６（作図.線分上に正方形）
による。
-
正方ＢＣ(_ＡＢ)
をとっている。
そして
ＡＣ上にＢＣに等しく、
ＢＣに相似な図形ＡＤだけはみでる
平行四辺形ＣＤがつくられたとせよ。
【・・・(b)】
-
命題６ー２９（作図.線分の平行四辺形外分割（コ））
による。
-
矩形ＣＧＤＦ(_ＣＡ(+)ＡＧ
;;＝正方ＢＣ
,≡矩形ＣＥ(+)正方ＡＤ;∽正方ＢＣ)
となっている。
ところが
ＢＣは正方形である。
したがって
ＡＤも正方形である。
-
命題６ー２１（同じ直線図形に相似な図形）
による。
-
ＡＤ;正方形
となっている。
そして
ＢＣはＣＤに等しいから、
-
(b)による。
-
正方ＢＣ＝矩形ＣＤ
となっている。
双方からＣＥが引き去られたとせよ。
そうすれば
残りのＢＦは残りのＡＤに等しい。
-
公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
による。
-
矩形ＢＦ＝正方ＢＦ
となっている。
しかも
等角でもある。
-
ＢＦ、ＡＤともに、
４つの角すべてが直角である。
定義の補足（命題４ー２）(等角)
による。
-
矩形ＤＦ(等角)正方ＡＤ
となっている。
ゆえに
ＢＦ、ＡＤの等角［等しい角］をはさむ辺は
逆比例する。
したがって
ＦＥがＥＤに対するように、
ＡＥがＥＢに対する。
そして
ＦＥはＡＢに、
ＥＤはＡＥに等しい。
-
(a),(b)
による。
-
ＦＥ＝ＡＢ、
ＥＤ＝ＡＥ
となっている。
それゆえ
ＢＡがＡＥに対するように、
ＡＥはＥＢに対する。
-
命題５ー７（同一量の比）、
命題５ー１１（同一の比に同じ比）
による。
ＢＡ：ＡＥ＝ＡＥ：ＥＢ
となっている。
そして
ＡＢはＡＥより大きい。
-
背理法の仮定として、
ＡＥがＡＢに等しい、
または、
より大きいとすれば、
公理１ー８（大きい）
により
ＢＣよりＣＤが大きくなり、
(b)
に矛盾する。
よって
ＡＢはＡＥより大きい。
-
ＡＢ＞ＡＥ
となっている。
ゆえに
ＡＥもＥＢより大きい。
-
定義５ー５（同じ比）
による。
-
ＡＥ＞ＥＢ
となっている。
よって
線分ＡＢは
Ｅにおいて外中比に分けられ、
そして
その大きい部分はＡＥである。
これが作図すべきことであった。
- 作図としては、
命題２ー１１（作図.線分の混合分割）
と同じであり、
その作業としては、
命題２ー１１（作図.線分の混合分割）
の方が
圧倒的に簡単である。
- 命題６ー３０は、
線分ＡＢ
に対して、
矩形ＣＧＤＦ(_ＣＡ(+)ＡＧ
;;＝正方ＢＣ
,≡矩形ＣＥ(+)正方ＡＤ;∽正方ＢＣ)
をとれば、
ＡＢ：ＡＥ＝ＡＥ：ＥＢ(外中比)
のことである。
- 命題６ー３０は作図用命題である。
前
次
目次
頁頭