ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論

第２巻

命題２ー１０（線分の正方形外分割）
もし
　線分が
　２等分され、
　任意の線分が
　それと一直線をなして
　加えられる
ならば、
　加えられた線分を含んだ
　全体の上の正方形と
　加えられた線分上の正方形との和
は、
　もとの線分の半分の上の正方形と、
　もとの線分の半分と加えられた線分とを
　　一直線とした上の正方形との和
　の２倍である。

• 線分は、定義の補足（命題１−１）による。
• 等分は、定義の補足２（公理１ー６）による。
• 直線は、定義１ー４による。
• 正方形は、定義１ー２２による。
• 半分は、定義の補足（公理１ー６）による。
• 倍は、定義の補足（公理１ー５）による。

　線分ＡＢが
　Ｃにおいて２等分され、
　線分ＢＤがＡＢと一直線をなして加えられた
とせよ。

• 　Ｃは、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）、
  　Ｄは、
  　公準１ー２（作図.直線の延長）、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  による。
  
• 　Ｃ；中点（ＡＢ）
  　Ｄ；点[延長ＡＢ]
  をとる。
  

　ＡＤ、ＢＤ上の正方形の和
は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である
と主張する。

　点Ｃから
　ＡＢに直角にＣＥがひかれ、
　　　　　　[......(a)]

• 　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  による。
• 　ＣＥ'；垂線(Ｃ,ＡＢ）
  をとる。

　ＣＥが
　ＡＣ、ＣＢの双方に等しくされ、
　　　　　　[......(b)]

　
• 十分長くひいた線分ＣＥ上に、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　ＣからＡＣに等しいところに点
  をとる。
  　この点を改めてＥとしている。
• 　Ｅ；点（ＣＥ';;ＣＥ＝ＡＣ）
  としている。

　ＥＡ、ＥＢが結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。

　Ｅを通り
　ＡＤに平行にＥＦがひかれ、
　　　　　　[......(c)]

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　ＥＦ'；平行線(Ｅ,ＡＤ）
  をとる。
  

　Ｄを通り
　ＥＣに平行にＦＤがひかれ、
　　　　　　[......(d)]

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　Ｄを通り
  　ＥＣに平行な直線をひく
  と、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　直線ＥＦと交点をもち、
  　それを遡ってＦ
  としている。
• 　Ｆ；交点（ＥＦ',平行線(Ｄ,ＥＣ))
  をとっている。

そうすれば
　線分ＥＦが
　平行線ＥＣ、ＦＤに交わる

• 　前節に述べた通りである。
  すなわち、
  　前節、前々節により、
  　ＥＦ‖ＡＤ、
  　Ｆ'Ｄ¬‖ＡＤ
  となっており、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により、
  　ＥＦ¬‖Ｆ'Ｄ
  となり、
  　交点を改めてＦ
  としている。
• 　ＥＦ╂(ＥＣ、ＦＤ)、
  　ＥＣ‖ＦＤ
  となっている。 　

から、
　角ＣＥＦ、ＥＦＤの和
は
　２直角に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
  
• 　∠ＣＥＦ＋∠ＥＣＤ＝２∠Ｒ
  となっている。
  

それゆえ
　角ＦＥＢ、ＥＦＤの和
は
　２直角より小さい。

• 　Ｂ
  は
  　ＥＣについて
  　Ｄと同じ側にあり、
  　ＥＦについて
  　Ｃと同じ側にある
  から、
  　∠ＦＥＣの内部にあり、
  　公理１ー８（大きい）
  により、
  　∠ＦＥＢ＜∠ＦＥＣ
  となり、
  　前節、
  　公理１ー４（不等なものに等しいものを加える）、
  　公理１ー８の補足２（等しいものより大きい・小さい）
  による。
• 　∠ＦＥＢ＋∠ＥＦＤ＜２∠Ｒ となっている。
  

そして
　２直角より小さい角から延長される
とき
　２直線は交わる。

• 　前節、
  　公準１ー５（平行線公準）
  による。

ゆえに
　ＥＢ、ＦＤ
は
　Ｂ、Ｄの方向に延長される
とき
　交わるであろう。

• 　前節による。
• 　直線ＥＢ╂直線ＦＤ
  となっている。

　延長され
　Ｇにおいて交わる
とし、

• 　前節による。
• 　Ｇ；交点（ＥＢ、ＦＤ）
  をとる。
  

　ＡＧが結ばれた
とせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。

そうすれば
　ＡＣはＣＥに等しい

• 　(b)による。
• 　ＡＣ＝ＣＥ となっている。
  

から、
　角ＥＡＣ
は
　角ＡＥＣに等しい。

• 　命題１ー５（２等辺三角形の底角）
  による。
• 　∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＣ となっている。
  

そして
　Ｃにおける角
は
　直角である。

• 　(a)である。
• 　∠ＥＡＣ＝∠Ｒ となっている。
  

したがって
　角ＥＡＣ、ＡＥＣの双方
は
　直角の半分である。

• 　前節、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　∠ＥＡＣ＋∠ＡＥＣ＝∠Ｒ
  となり、
  　前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  により、
  　∠ＥＡＣ＋∠ＡＥＣ＝２×∠ＥＡＣ
  となり、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　２×∠ＥＡＣ＝∠Ｒ
  となり、
  　公理１ー６（同じものの半分）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＣ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

同じ理由で
　角ＣＥＢ、ＥＢＣの双方
も
　直角の半分である。

• 　前節と同様である。
• 　∠ＣＥＢ＝∠ＥＢＣ＝∠Ｒ／２
  となっている。
  

ゆえに
　角ＡＥＢ全体
は
　直角である。
　　　　　　[......(1)]

• 　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＡＥＢ＝∠Ｒ となっている。
  

そして
　角ＥＢＣは直角の半分である

• 　前々節による。
• 　∠ＥＢＣ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

から、
　角ＤＢＧ
も
　直角の半分である。
　　　　　　[......(2)]

• 　前節、
  　命題１ー１５（対頂角）
  による。
• 　∠ＤＢＧ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

ところが
　角ＢＤＧ
も
　錯角である
ため
　角ＤＣＥに等しい

• 　(d)、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＢＤＧ＝∠ＤＣＥ となっている。
  

から
　［角ＢＤＧは］
　直角である。
　　　　　　[......(3)]

• 　前節、(a)、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＢＤＧ＝∠Ｒ となっている。
  

ゆえに
　残りの角ＤＧＢ
は
　直角の半分である。

• 　前節、前々々節、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＤＧＢ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

したがって
　角ＤＧＢ
は
　角ＤＢＧに等しい。

• 
  　前節、(2)、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＤＧＢ＝∠ＤＢＧ となっている。
  

ゆえに
　辺ＢＤ
も
　辺ＧＤに等しい。
　　　　　　[......(4)]

• 　前節、
  　命題１ー６（等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＢＤ＝ＧＤ となっている。
  

また
　角ＥＧＦ
は
　直角の半分であり、

• 　前々々節、
  　公理１ー７（等しい）
  による。
• 　∠ＥＧＦ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

　Ｆにおける角
は
　対角なるＣにおける角に等しい
ため
　直角である。
　　　　　　[......(5)]

• 　(c)、(d)、
  　定義の補足（命題１ー３４）（平行四辺形・対角線）
  により
  　四角形ＣＤＦＥ
  は
  　平行四辺形であり、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。

から、
　残りの角ＦＥＧ
は
　直角の半分である。

• 　命題１ー３２
  により、
  　∠ＥＧＦ＋∠Ｆ＋∠ＦＥＧ＝∠Ｒ
  となり、
  　前節、前々節、
  公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＦＥＧ＝∠Ｒ／２ となっている。
  

それゆえ
　角ＥＧＦ
は
　角ＦＥＧに等しい。

• 　前節、前々々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＥＧＦ＝∠ＦＥＧ となっている。
  

ゆえに
　辺ＧＦ
も
　辺ＥＦに等しい。
　　　　　　[......(6)]

• 　前節、
  　命題１ー６（等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＧＦ＝ＥＦ となっている。
  

そして
　ＥＣ上の正方形
は
　ＣＡ上の正方形に等しい

• 　(b)による。
• 　正方(_ＥＣ)＝正方(_ＣＡ)
  となっている。
  

から、
　ＥＣ、ＣＡ上の正方形の和
は
　ＣＡ上の正方形の２倍である。

• 　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  による。
• 　正方(_ＥＣ)＋正方(_ＣＡ)＝２×正方(_ＣＡ)
  となっている。
  

ところが
　ＥＡ上の正方形
は
　ＥＣ、ＣＡ上の正方形の和に等しい。

• 　(a)、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＥＣ)＋正方(_ＣＡ)＝正方(_ＥＡ)
  となっている。
  

したがって
　ＥＡ上の正方形
は
　ＡＣ上の正方形の２倍である。
　　　　　　【・・・(7)】

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×正方(_ＣＡ)＝正方(_ＥＡ) となっている。
  

また
　ＦＧ
は
　ＥＦに等しい

• 　(6)による。

から、
　ＦＧ上の正方形
も
　ＦＥ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー７（等しい）
  による。
• 　正方(_ＦＧ)＝正方(_ＦＥ) となっている。
  

それゆえ
　ＧＦ、ＦＥ上の正方形の和
は
　ＥＦ上の正方形の２倍である。

• 　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  により、
  　正方(_ＦＧ)＋正方(_ＦＥ)＝正方(_ＦＥ)＋正方(_ＦＥ)
  となり、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＧＦ)＋正方(_ＦＥ)＝２×正方(_ＦＥ) となっている。
  

ところが
　ＥＧ上の正方形
は
　ＧＦ、ＦＥ上の正方形の和に等しい。

• 　(5)、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＧＦ)＋正方(_ＥＦ)＝正方(_ＥＧ)
  となっている。
  

ゆえに
　ＥＧ上の正方形
は
　ＥＦ上の正方形の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×正方(_ＦＥ)＝正方(_ＥＧ) となっている。
  

そして
　ＥＦ
は
　ＣＤに等しい。

• 　(c)、(d)、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＥＦ＝ＣＤ
  したがって
  　正方(_ＥＦ)＝正方(_ＣＤ)
  となっている。
  

したがって
　ＥＧ上の正方形
は
　ＣＤ上の正方形の２倍である。

• 　公理１ー５（同じものの２倍）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＥＧ)＝２×正方(_ＣＤ)
  となっている。
  

しかも
　ＥＡ上の正方形がＡＣ上の正方形の２倍である
ことも先に証明された。

• 　(7)
  による。
• 　正方(_ＥＡ)＝２×正方(_ＡＣ) となっている。
  

それゆえ
　ＡＥ、ＥＧ上の正方形の和
は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＧ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。
  

そして
　［角ＡＥＧは直角であるから、］
　ＡＧ上の正方形
は
　ＡＥ、ＥＧ上の正方形［の和］に等しい。

• 　(1)、
  　公理１ー７（等しい）
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＧ)＝正方(_ＡＧ)
  となっている。
  

ゆえに
　ＡＧ上の正方形
は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節先による。
• 　正方(_ＡＧ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。
  

ところが
　［Ｄにおける角
は
　直角である

• 　(3)による。
  

から、］
　ＡＤ、ＤＧ上の正方形の和
は
　ＡＧ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＧ)＝正方(_ＡＧ)
  となっている。
  

したがって
　ＡＤ、ＤＧ上の正方形の和
は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＧ)
  となっている。
  

そして
　ＤＧ
は
　ＤＢに等しい。

• 　(4)による。
• したがって
  　正方(_ＤＧ)＝正方(_ＤＢ)
  となっている。
  

ゆえに
　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和
は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える） 、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  となっている。
  

よってもし
　線分が２等分され、
　任意の線分がそれと一直線をなして加えられる
ならば、
　加えられた線分を含んだ全体の上の正方形と
　加えられた線分上の正方形との和
は、
　もとの線分の半分の上の正方形と、
　もとの線分の半分と
　　加えられた線分とを一直線とした上の正方形との和
　の２倍である。
　
これが証明すべきことであった。

• 　第２巻の命題によると
  　次のようになる。
  
  　ＡＤ上の正方形
  は
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により、
  　ＡＣ上の正方形とＣＤ上の正方形と
  　矩形ＡＣ、ＣＤの２倍と
  　の和に等しい。
  
  • 　正方(_ＡＤ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)＋２×矩形(ＡＣ、ＣＤ)
    となっている。
    
  　矩形ＡＣ、ＣＤ
  は
  　命題２ー３（２分線分の全体と一つとによる矩形）
  により、
  　ＡＣ上の正方形と矩形ＡＣ、ＢＤと
  　の和に等しい
  
  • 　矩形(ＡＣ、ＣＤ)＝正方(_ＡＣ)＋矩形(ＡＣ、ＢＤ)
    となっている。
    
  から、
  　ＡＤ上の正方形
  は
  　前節、前々節、
  　公理１−５（同じものの２倍）、
  　公理１−２（等しいものに等しいものを加える）、
  　公理１−１（同じものに等しい）
  により、
  　ＡＣ上の正方形の３倍とＣＤ上の正方形と
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍と
  　の和に等しい。
  　　　　　　【・・・(8)】
  • 　正方(_ＡＤ)＝３×正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)＋２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)
    となっている。
    
  一方、
  　ＣＤ上の正方形
  は
  　命題２ー６（線分の矩形外分割）
  により、
  　矩形ＡＤ、ＢＤとＢＣ上の正方形と
  　の和に等しい。
  
  • 　正方(_ＣＤ)＝矩形(ＡＤ、ＢＤ)＋正方(_ＢＣ)
    となっている。
    
  　矩形ＡＤ、ＢＤ
  は
  　命題２ー１（任意個分割との矩形）、
  　定義２ー１（かこまれる）
  により、
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍とＢＤ上の正方形と
  　の和に等しい
  
  • 　矩形(ＡＤ、ＢＤ)＝２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)＋正方(_ＢＤ)
    となっている。
    
  から、
  　ＣＤ上の正方形
  は
  　前節、前々節
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍とＢＤ上の正方形と
  　ＢＣ上の正方形と
  　の和に等しい。
  
  • 　正方(_ＣＤ)＝２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)＋正方(_ＢＤ)＋正方(_ＢＣ)
    となっている。
    
  　双方から
  　ＢＤ上の正方形とＢＣ上の正方形と
  　の和をひくと、
  　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　ＣＤ上の正方形から
  　ＢＤ上の正方形とＢＣ上の正方形と
  　の和を
  　引いた残り
  は、
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍に等しい。
  
  • 　正方(_ＣＤ)ー正方(_ＢＤ)ー正方(_ＢＣ)＝２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)
    となっている。
    
  双方に
  　ＡＣ上の正方形の３倍とＣＤ上の正方形と
  　を加える
  と、
  　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　公理１ー１（同じものに等しい） 、
  　ＡＣ上の正方形とＢＣ上の正方形が
  　定義２ー１（かこまれる）により等しいこと
  により、
  　ＣＤ上の正方形の２倍と
  　ＡＣ（ＢＣ）上の正方形の２倍と
  　の和から
  　ＢＤ上の正方形を
  　ひいた残り
  は、
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍と
  　ＡＣ上の正方形の３倍とＣＤ上の正方形と
  　の和に等しい。
  
  • 　２×正方(_ＣＤ)＋２×正方(_ＢＣ)ー正方(_ＢＤ)
    　＝２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)＋３×正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)
    となっている。
    
  　ＡＤ上の正方形
  は
  　矩形ＡＣ、ＢＤの２倍と
  　ＡＣ上の正方形の３倍とＣＤ上の正方形と
  　の和に等しい
  　ことはすでに証明された
  
  • (8)による。
  • 　正方(_ＡＤ)＝３×正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)＋２×矩形(ＡＣ、ＢＤ)
    となっている。
    
  から、
  　ＡＤ上の正方形
  は
  　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　ＣＤ上の正方形の２倍と
  　ＡＣ（ＢＣ）上の正方形の２倍と
  　の和から
  　ＢＤ上の正方形を
  　ひいた残りに等しい。
  
  • 　正方(_ＡＤ)＝２×正方(_ＣＤ)＋２×正方(_ＡＣ)ー正方(_ＢＤ)
    となっている。
    
  　双方に
  　ＢＤ上の正方形を加える
  と、
  　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により
  　ＡＤ上の正方形とＢＤ上の正方形との和
  は、
  　ＡＣ上の正方形の２倍とＣＤ上の正方形の２倍と
  　の和に等しい。
  • 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＢＤ)＝２×正方(_ＣＤ)＋２×正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
  　前節、
  　公理１ー５（同じものの２倍）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　ＡＤ上の正方形とＢＤ上の正方形との和
  は、
  　ＡＣ上の正方形の２倍とＣＤ上の正方形の２倍と
  　の和に等しい。
  • 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＢＤ)＝２×（正方(_ＣＤ)＋正方(_ＡＣ)）
    となっている。
    
  　
• 命題2-10は第２巻の命題によると次のようになる。

  前提	作図	推論
  定義		2-1
  公準
  公理		1-1,1-2,1-3,1-5
  命題		2-1,2-3,2-4,2-6
  その他

• 本質的には、
  　和の平方と差の平方との和
  　のことである。
  　正方(_ＡＣ＋ＣＤ)＋正方(_ＣＤーＡＣ)
  　＝２×（正方(_ＣＤ)＋正方(_ＡＣ)）
  となっている。
  
• 　命題２ー９（線分の正方形分割）とは、
  　線分ＢＤがＡＢ上にあるか、
  　ＡＢの延長上にあるか
  　の違いである。
  
• 　線分ＡＢ
  に対して、
  　Ｃ；中点（ＡＢ）、
  　Ｄ；点（延長ＡＢ）
  をとるならば、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＢＤ)
  　＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  のことである。
  
• 命題2-10は推論用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義		補(理1-5),補(題1-34)
  公準	1-1,1-1補,1-2,1-5
  公理		1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,1-7,1-8,1-8補2
  命題	1-3補, 1-101-11,1-31	1-5,1-6,1-15,1-29,1-30補,1-32,1-34,1-47
  その他

  
  

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