ユークリッド原論をどう読むか（２）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
（垂線は唯一）
与えられた直線に
その上の与えられた点から
直角に直線をひく
こと。
与えられた直線をＡＢ、
その上の与えられた点をＣ
とせよ。
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
による。
-
直線(Ａ,Ｂ)、
Ｃ;点[ＡＢ]
をとっている。
このとき
点Ｃから
直線ＡＢに
直角に直線をひか
ねばならぬ。
ＡＣ上に任意の点Ｄがとられ、
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
による。
-
Ｄ;点[ＣＡ]
をとっている。
ＣＥがＣＤに等しくされ、
-
点Ｅが取れる
ことは、
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
による。
ＣＢがＣＤより大きい
ことが前提されるが、
Ｂは直線の右側の任意の点である
から、
必要に応じてＣＢは
いくらでも大きくできる。
-
Ｅ;点(ＣＢ,ＣＥ＝ＣＤ)
をとっている。
ＤＥ上に
等辺三角形ＦＤＥがつくられ、
-
命題１ー１（作図・正三角形）
による。
-
Ｆ;頂点.正三(_ＤＥ)
をとっている。
ＦＣが結ばれた
とせよ。
【・・・(a)】
与えられた直線ＡＢに
その上の与えられた点から
直角に直線ＦＣがひかれている
と主張する。
線分(Ｆ,Ｃ)
をとっている。
ＤＣはＣＥに等しく、
ＣＦは共通である
から、
２辺ＤＣ、ＣＦは
それぞれ
２辺ＥＣ、ＣＦに等しい。
【・・・(1)】
-
まず、
二つの三角形の２辺が
それぞれ等しい
ことを確認している。
その後に、
挟角あるいは底辺が等しい
ことの確認にすすむ。
これが合同を証明する際のスタイルである。
-
(ＤＣ,ＣＦ)＝(ＥＣ,ＣＦ)
となっている。
そして
底辺ＤＦは底辺ＦＥに等しい。
-
(a)により、
ＤＦＥは等辺三角形になる
ことによる。
-
ＤＦ＝ＦＥ
となっている。
したがって、
角ＤＣＦは角ＥＣＦに等しい。
【・・・(2)】
-
(1),
命題１ー４（２辺挟角相等）
により、
二つの三角形は合同となる
ことによる。
-
∠ＤＣＦ＝∠ＥＣＦ
となっている。
しかも
接角である。
ところが
直線が直線の上にたてられて
接角を互いに等しくする
とき、
等しい角の双方は直角である。
それゆえ
角ＤＣＦ、ＦＣＥの双方は直角である。
よって
与えられた直線ＡＢに
その上の与えられた点Ｃから
直角に直線ＣＦがひかれている。
これが作図すべきものであった。
-
直線上の点から、
その直線に垂直な直線は唯一である。
（以下、命題１ー１１の補足（垂線は唯一）という。）
もし
ＣＦと異なる、
ＡＢに垂直な直線ＣＧがあった
とすると、
ＣＧは
角ＡＣＦの内部か、
ＢＣＦの内部か
何れかをとおる。
ＡＣＦの内部をとおる
とすると、
ＣＧ上でＡＣＦの内部にある点を
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
によりとる。
この点を改めてＧ
とする。
角ＡＣＧは
ＡＣＦの内部にある
から
公理１ー８の補足（小さい）
により
ＡＣＦより小さい。
ところが
ＡＣＧ、ＡＣＦは
直角で等しい
から、
これは不可能である。
背理法により、
直線上の点から、
その直線に垂直な直線は唯一である。
角ＢＣＦの内部をとおる
場合も
同様に証明できる。
- 命題1-11は、
ＡＢ；直線、
Ｃ；点[ＡＢ]
に対して、
Ｄ；点[ＡＣ]、
Ｅ；点(ＣＢ、ＣＥ＝ＣＤ)、
Ｆ；頂点.等三(_ＤＥ)
をとるならば、
ＦＣ⊥ＡＢ
のことである。
-
命題１ー１１の補足（垂線は唯一）
- 命題1-11は作図用命題である。
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