ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
一つの直線が
　二つの平行線に交わってなす錯角は
　互いに等しく、
　外角は内対角に等しく、
　同側内角の和は２直角に等しい。

• 直線は、定義１ー４による。
• 平行線は、定義１ー２３による。
• 交わるは、定義１ー８の補足による。
• 錯角は、定義の補足（命題１ー２７）による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 外角、内対角は、
  　通常、定義の補足（命題１ー１６）によるが、
  　この場合は、定義の補足（命題１ー２８）による。
• 同じ側は定義１ー７の補足による。
• 内角は、定義の補足（公準１ー５）による。
• 直角は、定義１ー１０による。

直線ＥＦが
　平行線ＡＢ、ＣＤに交わるとせよ。

• 　直線ＡＢ
  に対して
  　平行な直線ＣＤがあり、
  　直線ＥＦが
  　ＡＢ、ＣＤに交わっている
  と仮想して、
  　推論をすすめる。
  

錯角ＡＧＨ、ＧＨＤは等しく、
　外角ＥＧＢは内対角ＧＨＤに等しく、
　同側内角ＢＧＨ、ＧＨＤの和は
　２直角に等しいと主張する。
　


もし
　角ＡＧＨが
　角ＧＨＤに等しくないならば、

• 　背理法の仮定である。
• 　∠ＡＧＨ≠∠ＧＨＤ
  としている。

それらの一方が大きい。

• 公理１ー７の補足（線分・角は大か等か小）
  による。
• 角ＡＧＨが、角ＧＨＤと比べて
  　大きい場合
  　小さい場合
  　等しい場合
  　がある。
  

[大きい場合]
角ＡＧＨが大きいとせよ。
　　　　　　【・・・(a)】

• 　角ＧＨＤが大きい場合も以下と同様の推論ができる。
• 　∠ＡＧＨ＞∠ＧＨＤ
  としている。

双方に
　角ＢＧＨが加えられたとせよ。
そうすれば
　角ＡＧＨ、ＢＧＨの和は
　角ＢＧＨ、ＧＨＤの和より大きい。

• 　(a) ,
  　公理１ー４（不等なものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＡＧＨ＋∠ＢＧＨ＞∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ
  となっている。

ところが
　角ＡＧＨ、ＢＧＨの和は
　２直角に等しい。

• 　命題１ー１３（直線と２直角１）
  による。
• 　∠ＡＧＨ＋∠ＢＧＨ＝２×∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
　角ＢＧＨ、ＧＨＤの和は
　２直角より小さい。

• 　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ＜２×∠Ｒ
  となっている。

そして
　その和が
　２直角より小さい２角から
　限りなく延長された２直線は
　交わる。
それゆえ
　ＡＢ、ＣＤは限りなく延長されるとき
　交わるであろう。

• 　公準１ー５（平行線公準）
  による。
  　公準１ー５（平行線公準）
  はここで初めて登場する。
• 「２直線の交点をとることができる」
  　と表現すれば、
  　公準は
  　作図のためのものであるという本質に
  　よくマッチする。

ところが
　それらは平行であると
　仮定されているから

• 命題の設定 による。

交わらない。

• 定義１ー２３（平行(線)）
  による。

[小さいきい場合も、
同様に証明できる。]

• 角ＧＨＤが大きい場合についての論証を省略している。

[３つの場合のうち、
　２つの場合が不可能である。]
ゆえに
　角ＡＧＨは
　角ＧＨＤに不等ではない。

• 背理法による。

したがって
　等しい。 【・・・(1)】

• 公理１ー８（大きい）
  による。
• 　∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＤ
  となっている。

また
　角ＡＧＨは角ＥＧＢに等しい。

• 　命題１ー１５（対頂角）
  による。

したがって
　角ＥＧＢも角ＧＨＤに等しい。

• (1) , 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＥＧＢ＝∠ＧＨＤ
  となっている。

双方に
　角ＢＧＨが加えられたとせよ。
そうすれば
　角ＥＧＢ、ＢＧＨの和は
　角ＢＧＨ、ＧＨＤの和に等しい。

• 　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＥＧＢ＋∠ＢＧＨ＝∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ
  となっている。

ところが
　角ＥＧＢ、ＢＧＨの和は
　２直角に等しい。

• 　命題１ー１３（直線と２直角１）
  による。
• 　∠ＥＧＢ＋∠ＢＧＨ＝２×∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
　角ＢＧＨ、ＧＨＤの和も
　２直角に等しい。

• 　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ＝２×∠Ｒ
  となっている。

よって
　一つの直線が
　二つの平行線に交わってなす錯角は
　互いに等しく、
　外角は内対角に等しく、
　同側内角の和は２直角に等しい。
　
これが証明すべきことであった。

• 　公準１ー５（平行線公準）
  が初めて登場する命題である。
• 　命題１ー２９は公準１ー５（平行線公準）
  と同値である。
  　命題１ー２９が成立すると、
  　その対偶命題
  　「１直線が２直線に交わっているとき、
  　同側内角が２直角でないなら、
  　２直線は平行でない」
  　が成立する。
  今、
  　同側内角を２直角より小さいとするならば、
  　対偶命題より２直線は平行でなく、
  　定義１ー２３（平行(線)）
  により交点が存在する。
  　命題１ー１７（三角形の２角の和）
  により
  　交点のある側が２直角より小さい。
  よって
  　公準１ー５（平行線公準）
  が成立する。
  逆に
  　公準１ー５（平行線公準）
  が成立すると、
  　１直線が２直線に交わっているとき、
  　同側内角が２直角でないなら、
  　どちらかの同側内角が
  　２直角より小さくなるので、
  　２直線は平行でない。
  よって、
  　その対偶命題である命題１ー２９が成立する。
• 　命題1-29は、
  　直線ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ
  について、
  　ＡＢ‖ＣＤ、
  　点Ｇ(ＥＦ,ＡＢ)、
  　点Ｈ(ＥＦ,ＣＤ)、
  ならば、
  　∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＤ、
  　外角ＥＧＢ＝内対角ＧＨＤ、
  　同側内角∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ＝２×∠Ｒ
  のことである。
• 　命題1-29は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-23
  公準	1-5
  公理		1-1、1-2、1-4、1-7補、1-8、1-8補2
  命題		1-13、1-15
  その他		背理法、場合分け

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