ユークリッド原論をどう読むか（３）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次　

ユークリッド原論
第１巻

命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
すべての三角形において
　１辺が延長されるとき、
　外角は二つの内対角の和に等しく、
　三角形の三つの内角の和は２直角に等しい。

• 三角形は、定義１ー１９の補足２による。
• 辺は、定義１ー１９の補足による。
• 外角、内対角は、定義の補足（命題１ー１６）による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 内角は、定義の補足（公準１ー５）による。
• 直角は、定義１ー１０による。

ＡＢＣを三角形とし、
　その１辺ＢＣがＤまで延長されたとせよ。

• 公準１ー２（作図.直線の延長）
  による。
• 　三角形ＡＢＣ、
  　点Ｄ[延長ＢＣ]、
  　線分ＣＤ
  をとっている。

外角ＡＣＤは
　二つの内対角ＣＡＢ、ＡＢＣの和に等しく、
　三角形の三つの内角ＡＢＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢの和は
　２直角に等しいと主張する。

点Ｃを通り
　線分ＡＢに平行に
　ＣＥがひかれたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー３１（作図・平行線）
  による。
• 　平行線ＣＥ(Ｃ,ＡＢ)
  をとっている。

そうすれば
　ＡＢはＣＥに平行であり、

• (a) による。
• 　ＡＢ‖ＣＤ
  となっている。

ＡＣが
　それらに交わるから、
　錯角ＢＡＣ、ＡＣＥは互いに等しい。
　　　　　　【・・・(1)】

• 公準１ー５（平行線公準）
  を認めなくても、
  　直線ＡＢと点Ｃについて、
  　直線ＡＣを使って平行線ＣＥを引くことができる。
• 　∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＥ
  となっている。

また
　ＡＢはＣＥに平行であり、

• (a) による。
• 　ＡＢ‖ＣＥ
  となっている。

線分ＢＤがそれらに交わるから、
　外角ＥＣＤは内対角ＡＢＣに等しい。

• 命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 公準１ー５（平行線公準）
  を認めないと
  　平行線ＣＥにおいて
  　外角ＥＣＤと内対角ＡＢＣが等しいとはいえない。
  言い換えると、
  　直線ＡＢと点Ｂについて、
  　直線ＢＣを使って引いた平行線が
  　ＣＥと一致することを論証できない。
• 　∠ＥＣＤ＝∠ＡＢＣ
  となっている。

そして
　角ＡＣＥが角ＢＡＣに等しいことも
　先に証明された。

• (1) による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠ＢＡＣ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＣＤ全体は
　二つの内対角ＢＡＣ、ＡＢＣの和に等しい。

• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ
  となっている。

双方に
　角ＡＣＢが加えられたとせよ。
そうすれば
　角ＡＣＤ、ＡＣＢの和は
　三つの角ＡＢＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢの和に等しい。

• 公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
  　∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＢ
  　＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＋∠ＣＡＢ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＢＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢの和も
　２直角に等しい。

• 　命題１ー１３（直線と２直角１）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。

よって
　すべての三角形において
　１辺が延長されるとき、
　外角は二つの内対角の和に等しく、
　三角形の三つの内角の和は２直角に等しい。
　
これが証明すべきことであった。

• 命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  により、
  　命題１ー３１（作図・平行線）
  における疑問�Aが解決される。
  
  命題１ー３０（平行の平行）
  により、
  　直線ＢＣに平行で
  　点Ａを通り、
  　錯角ＢＤＡとＦＡＤが等しい直線ＥＦを引く。
  公準１ー１（作図.直線）
  により、
  　直線ＢＣ上にあって
  　Ｄと異なる点Ｇとを結ぶ。
  このとき、
  　錯角ＢＧＡとＦＡＧとが等しいことを
  　次のように示すことができる。
  　
  命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  により、
  　角ＢＤＡは
  　内対角ＤＡＧとＤＧＡの和に等しくなる。
  公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　角ＦＡＤはＤＡＧとＤＧＡの和に等しくなる。
  公理１ー７（等しい）
  により、
  　角ＦＡＤはＦＡＧとＤＡＧの和に等しくなる。
  公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　角ＤＧＡとＦＡＧは等しくなる。
  よって、
  　角ＢＧＡとＦＡＧとが等しい
• 命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  から
  　公準１ー５（平行線公準）
  を
  　以下のように導くことができる。
  
  
  ２直線ＡＢ、ＣＤに
  　直線ＥＦが
  　それぞれＧ、Ｈで交わっており、
  　同側内角ＢＧＨとＧＨＤの和が
  　２直角より小さいものとする。
  　
  命題１ー３１（作図・平行線）
  （公準１ー５（平行線公準）
  を前提としない）
  により、
  　Ｇを通りＣＤに平行な直線ＫＬを、
  　錯角ＧＨＣとＬＧＨが等しくなるように引く。
  このとき、
  　角ＧＨＤとＬＧＨの和は
  　角ＧＨＤとＧＨＣの和に等しく、
  　後者は
  　２直角であるから、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　角ＧＨＤとＬＧＨの和も２直角である。
  角ＧＨＤとＢＧＨの和は
  　２直角より小さいので、
  　公理１ー８の補足（小さい）
  により、
  　角ＢＧＨはＬＧＨより小さい。
  よって
  　半直線ＧＢは角ＬＧＨの内部にある。
  命題１ー２（作図・線分）
  により、
  　半直線ＨＤ上に点Ｈ₁を、
  　ＨＨ₁がＨＧと等しくなるようにとり、
  　公準１ー１（作図.直線）
  によりＧとＨ₁を結ぶ。
  三角形ＨＧＨ₁は
  　ＨＧとＨＨ₁が等しい二等辺三角形であるから、
  　命題１ー５（２等辺三角形の底角）
  により、
  　角ＨＧＨ₁とＨＨ₁Ｇは等しい。
  また、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  により、
  　角ＨＧＨ₁とＨＨ₁Ｇの和は角ＣＨＧと等しい。
  平行線を引く作図の設定により、
  　錯角ＣＨＧとＬＧＨは等しいので、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により、
  　角ＨＧＨ₁とＨＨ₁Ｇの和は角ＬＧＨに等しい。
  公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　角ＬＧＨ₁は角ＨＧＨ₁と等しくなるので、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　角ＨＧＨ₁とＬＧＨ₁は等しく、
  　ＧＨ₁は角ＬＧＨの２等分線となっている。
  次に、
  　命題１ー２（作図・線分）
  により、
  　半直線Ｈ₁Ｄ上に、
  　点Ｈ₂をＨ₁Ｈ₂がＨ₁Ｇと等しくなるようにとり、
  　公準１ー１（作図.直線）
  により
  　ＧとＨ₁を結ぶと、
  　ＧＨ₂が
  　角ＬＧＨ₁の２等分線となることが
  　同様にしてわかる。
  同じ操作をn回繰り返すと、
  　公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  により
  　ＣＤ上に点Ｈnがあって、
  　角ＬＧＨnは角ＬＧＨの1/2ⁿとなるので、
  　十分大きいmをとると角ＬＧＨmは
  　角ＬＧＢより小さくなる。
  このとき、
  　ＨmはＣＤ上にあり、
  　公理１ー８の補足（小さい）
  により、
  　角ＢＧＨはＨＧＨmより小さくなるので、
  　半直線ＧＢは角ＨＧＨmの内部にある。
  よって、
  　定義１ー１４の補足（交わる(図形)）
  により、
  　ＧＢはＣＤと交点をもつ。
  すなわち
  　直線ＥＦについて
  　同側内角が２直角より小さい側で
  　交点をもつ。
  よって公準１ー５（平行線公準）
  が成立する。
• したがって
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）、
  　命題１ー３０（平行の平行）、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線) 、
  　命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  は
  　公準１ー５（平行線公準）
  と同値である。
• 命題1-32は、
  　三角形ＡＢＣ
  において、
  　点Ｄ[延長ＢＣ]、
  　線分ＣＤ
  をとれば、
  　∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ、
  　∠ＡＢＣ＋∠ＢＣＡ＋∠ＣＡＢ
  　＝２∠Ｒ
  のことである。
• 命題1-32は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-2、1-2補
  公理		1-1、1-2
  命題	1-31	1-13,1-29
  その他

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭