ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論

第２巻

命題２ー９（線分の正方形分割）
もし線分が
　相等および不等な部分に分けられるならば、
　不等な部分の上の正方形の和は
　もとの線分の半分の上の正方形と
　二つの区分点の間の線分上の正方形と
　の和の２倍である。

• 線分は、定義の補足（命題１ー１）による。
• 相等、不等は、定義の補足（公理１ー４）による。
• 正方形は、定義１ー２２による。
• 半分は、定義の補足（公理１ー６）による。
• 点は、定義１ー１による。
• 倍は、定義の補足（公理１ー５）による。

線分ＡＢが
　Ｃにおいて等しい部分に、
　Ｄにおいて不等な部分に
　分けられたとせよ。

• 　Ｃは、
  　命題１ー１０（作図・線分の２等分）
  による。
  　Ｄは、
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  による。
  
• 　Ｃ；中点（ＡＢ）、
  　Ｄ；点（ＡＢ;;ＡＤ≠ＤＢ）
  とする。

ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形
　の和の２倍であると主張する。
　


Ｃから
　ＡＢに直角に
　ＣＥがひかれ、
　　　　　　【・・・(a)】

• 　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  による。
• 　垂線ＣＥ(Ｃ,ＡＢ）
  をとる。
  

ＣＥが
　ＡＣ、ＣＢの双方に等しくされ、
　　　　　　【・・・(b)】

• 　十分長くひいた線分ＣＥ上に、
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　ＣからＡＣに等しいところに点をとる。
  この点を改めてＥとしている。
• 　Ｅ'；点（半直線ＣＥ;;ＣＥ'＝ＡＣ＝ＣＢ）
  をとり、
  改めて、
  　Ｅ；点（Ｅ'）
  としている。

ＥＡ、ＥＢが結ばれ、

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＥＡ、線分ＥＢ
  をとっている。

Ｄを通り
　ＥＣに平行にＤＦがひかれ、
　　　　　　[......(c))]

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　Ｄを通り
  　ＥＣに平行な直線をひくと、
  　ＥＣとＥＢは交わっている
  ので、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＥＢと交点をもち、
  　それをＦとしている。
• 　Ｆ；交点(ＥＢ,平行線(Ｄ,ＥＣ))
  をとる。
  

Ｆを通り
　ＡＢに平行にＦＧがひかれ、
　　　　　　【・・・(d)】

• 　命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　Ｆを通り
  　ＡＢに平行な直線をひくと、
  　ＡＢとＥＣは交わっているので、
  　命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＥＣと交点をもち、
  　それをＧとしている。
• 　Ｇ；交点(ＥＣ,平行線(Ｆ,ＡＢ))
  をとる。
  

ＡＦが結ばれたとせよ。

• 　公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＦ
  をとっている。

そうすれば
　ＡＣはＣＥに等しい

• 　(b)による。
• 　ＡＣ＝ＣＥ
  となっている。
  

から、
　角ＥＡＣは
　角ＡＥＣに等しい。
　　　　　　【・・・(1)】

• 　前節、
  　命題１ー５（２等辺三角形の底角）
  による。
• 　∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＣ
  となっている。
  

そして
　Ｃにおける角は直角である

• 　(a)による。
• 　∠Ｃ＝直角
  となっている。
  

から、
　残りの角ＥＡＣ、ＡＥＣの和は
　直角である。

• 　前節、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＥＡＣ＋∠ＡＥＣ＝直角
  となっている。
  

しかも
　それらは等しい。

• 　(1)による。
• 　∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＣ
  となっている。
  

それゆえ
　角ＥＡＣ、ＡＥＣの双方は
　直角の半分である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー６（同じものの半分）
  による。
• 　∠ＥＡＣ＝∠ＡＥＣ＝直角／２
  となっている。
  

同じ理由で
　角ＣＥＢ、ＥＢＣの双方も
　直角の半分である。
　　　　　　【・・・(2)】

• 　∠ＣＥＢ＝∠ＥＢＣ＝直角／２
  となっている。

ゆえに
　角ＡＥＢ全体は直角である。
　　　　　　[......(3)]

• 　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　∠ＡＥＢ＝直角
  となっている。
  

そして
　角ＧＥＦは直角の半分であり、
　　　　　[......(4)]

• 　公理１ー７（等しい）
  により、
  　∠ＧＥＦ＝∠ＣＥＢ
  となり、
  　前々節による。
• 　∠ＧＥＦ＝直角／２
  となっている。
  

　角ＥＧＦは
　内対角ＥＣＢに等しい

• 　(d)、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＥＧＦ＝∠ＥＣＢ
  となっている。
  

ため
　直角であるから、
　　　　　　[......(5)]

• 　前節、(a)、
  　公理１ー１（同じものに等しい） による。
• 　∠ＥＧＦ＝直角
  となっている。
  

　残りの角ＥＦＧは
　直角の半分である。

• 　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
  により、
  　ＥＦＧ＋ＥＧＦ＋ＧＥＦ＝２直角
  となり、
  　前節、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　ＥＦＧ＋ＧＥＦ＝直角
  となり、
  さらに、
  　(4)、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
  
• 　∠ＥＦＧ＝直角／２
  となっている。
  

したがって
　角ＧＥＦはＥＦＧに等しい。

• 　前節、(4)、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により
  　∠ＥＦＧ＝∠ＥＢＣ
  となり、
  　∠ＥＢＣ＝∠ＣＥＢ＝∠ＧＥＦ
  となり、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  によるともできる。
• 　∠ＧＥＦ＝∠ＥＦＧ
  となっている。
  

ゆえに
　辺ＥＧもＧＦに等しい。
　　　　　　[......(6)]

• 　前節、
  　命題１ー６（等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＥＧ＝ＧＦ
  となっている。
  

また
　Ｂにおける角は
　直角の半分であり、

• 　(2) による。
• 　∠Ｂ＝直角／２
  となっている。
  

　角ＦＤＢは
　内対角ＥＣＢに等しい

• 　(a),命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＦＤＢ＝∠ＥＣＢ
  となっている。
  

ため
　直角である
　　　　　　[......(7)]

• 　前節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＦＤＢ＝直角
  となっている。

から、
　残りの角ＢＦＤは
　直角の半分である。

• 　前節、前々々節、
  　命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）、
  　公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  により論証することもできる。
• 　∠ＢＦＤ＝直角／２
  となっている。
  

それゆえ
　Ｂにおける角は角ＤＦＢに等しい。

• 　前節、(2)、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠Ｂ＝∠ＤＦＢ
  となっている。
  

ゆえに
　辺ＦＤも辺ＤＢに等しい。
　　　　　　[......(8)]

• 　前節、
  　命題１ー６（等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＦＤ＝ＤＢ
  となっている。
  

そして
　ＡＣはＣＥに等しいから、

• 　(b) による。
• 　ＡＣ＝ＣＥ
  となっている。
  

ＡＣ上の正方形も
　ＣＥ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー７（等しい）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＥ)
  となっている。
  

したがって
　ＡＣ、ＣＥ上の正方形の和は
　ＡＣ上の正方形の２倍である。

• 　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  による。
• 　正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＥ)＝２×正方(_ＡＣ)
  となっている。
  　　　　　　【・・・(9)】

ところが
　角ＡＣＥは直角であるから、

• 　(a) による。
• 　∠ＡＣＥ＝直角
  となっている。
  

ＥＡ上の正方形は
　ＡＣ、ＣＥ上の正方形の和に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＥＡ)＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＥ)
  となっている。
  

それゆえ
　ＥＡ上の正方形は
　ＡＣ上の正方形の２倍である。

• 　前節、(9)、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×正方(_ＡＣ)＝正方(_ＥＡ)
  となっている。
  　　　　　　【・・・(10)】

また
　ＥＧはＧＦに等しいから、

• 　(6) による。
• 　ＥＧ＝ＧＦ
  となっている。

ＥＧ上の正方形も
　ＧＦ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　公理１ー７（等しい）
  による。
• 　正方(_ＥＧ)＝正方(_ＧＦ)
  となっている。
  

ゆえに
　ＥＧ、ＧＦ上の正方形の和は
　ＧＦ上の正方形の２倍である。

• 　前節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  による。
• 　正方(_ＥＧ)＋正方(_ＧＦ)＝２×正方(_ＧＦ)
  となっている。
  

ところが
　ＥＦ上の正方形は
　ＥＧ、ＧＦ上の正方形の和に等しい。

• 　(5)、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＥＧ)＋正方(_ＧＦ)＝正方(_ＥＦ)
  となっている。
  

したがって
　ＥＦ上の正方形は
　ＧＦ上の正方形の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　２×正方(_ＧＦ)＝正方(_ＥＦ)
  

しかも
　ＧＦはＣＤに等しい。

• 　(c)、(d)、
  　命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＧＦ＝ＣＤ
  となっていて、
  　正方(_ＧＦ)＝正方(_ＣＤ)
  となる。
  

それゆえ
　ＥＦ上の正方形は
　ＣＤ上の正方形の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＥＦ)＝２×正方(_ＣＤ)
  となっている。
  

ところが
　ＥＡ上の正方形も
　ＡＣ上の正方形の２倍である。

• 　(10)による。
• 　正方(_ＥＡ)＝２×正方(_ＡＣ)
  となっている。

ゆえに
　ＡＥ、ＥＦ上の正方形の和は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　定義の補足（公理１ー５）（同じもののｎ倍）
  による。
• 　正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＦ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。
  

ところが
　角ＡＥＦは直角であるから、

• 　(3)による。
• 　∠ＡＥＦ＝直角
  となっている。

　ＡＦ上の正方形は
　ＡＥ、ＥＦ上の正方形［の和］に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＦ)＝正方(_ＡＥ)＋正方(_ＥＦ)
  となっている。
  

したがって
　ＡＦ上の正方形は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　正方(_ＡＦ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。
  

また
　Ｄにおける角は直角である

• 　(7)による。
• 　∠ＡＤＦ＝直角
  となっている。

から、
　ＡＤ、ＤＦ上の正方形の和は
　ＡＦ上の正方形に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー４７（三平方の定理）
  による。
• 　正方(_ＡＦ)＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＦ)
  となっている。
  

それゆえ
　ＡＤ、ＤＦ上の正方形の和は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＦ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)
  となっている。
  

そして
　ＤＦはＤＢに等しい。

• 　(8)による。
• 　ＤＦ＝ＤＢ
  となっていて、
  　正方(_ＤＦ)＝正方(_ＤＢ)
  となる。

ゆえに
　ＡＤ、ＤＢ上の正方形の和は
　ＡＣ、ＣＤ上の正方形の和の２倍である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。

よって
　もし線分が
　相等および不等な部分に分けられるならば、
　不等な部分の上の正方形の和は
　もとの線分の半分の上の正方形と
　二つの区分点の間の線分上の正方形と
　の和の２倍である。
　
これが証明すべきことであった。

• この証明は
  　２巻のこれまでの命題とはまったく趣が異なる。
• 第２巻の命題によると次のようになる。
  
  　ＡＢ上の正方形は、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との和
  　に等しい。
  　　　　　　【・・・(11)】
  • 　正方(_ＡＢ)
    　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×矩形(ＡＤ、ＤＢ)
    となっている。
    
    
  また、
  　ＡＢ上の正方形は、
  　命題２ー４（２分線分上の正方形）
  により
  　ＡＣ上の正方形とＣＢ上の正方形と
  　矩形ＡＣ、ＣＢの２倍との和
  　に等しい。
  
  • 　正方(_ＡＢ)
    　＝正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＢ)＋２×矩形(ＡＣ、ＣＢ)
    となっている。
    　
    
  　ＡＣ上の正方形とＣＢ上の正方形と
  　矩形ＡＣ、ＣＢと
  は、
  　命題の設定、
  　定義２ー１（かこまれる）
  により
  　等しい。
  
  • 　正方(_ＡＣ)＝正方(_ＣＢ)＝矩形(ＡＣ、ＣＢ)
    となっている。
    
    
  よって、
  　ＡＢ上の正方形は、
  　前節、前々節、
  　定義の補足（公理１−５）（同じもののｎ倍）
  により、
  　ＡＣ上の正方形の４倍に等しい。
  
  • 　正方(_ＡＢ)＝４×正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
    
  したがって、
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との和
  は、
  　前節、(11)、
  　公理１−１（同じものに等しい）
  により、
  　ＡＣ上の正方形の４倍に等しい。
  　　　　　　【・・・(12)】
  • 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×矩形(ＡＤ、ＤＢ)
    　＝４×正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
    
  一方、
  　矩形ＡＤ、ＤＢとＣＤ上の正方形との和
  は、
  　命題の設定、
  　命題２ー５（線分の矩形分割）
  により
  　ＡＣ上の正方形に等しい。
  
  • 　矩形(ＡＤ、ＤＢ)＋正方(_ＣＤ)＝正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
    
  　双方から
  　ＣＤ上の正方形をひく
  と、
  　公理１−３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　矩形ＡＤ、ＤＢ
  は
  　ＡＣ上の正方形から
  　ＣＤ上の正方形をひいた
  　残りに等しい。
  
  • 　矩形(ＡＤ、ＤＢ)＝正方(_ＡＣ)ー正方(_ＣＤ)
    となっている。
    
    
  よって、
  　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍
  は
  　前節、
  　公理１−５（同じものの２倍）
  により、
  　ＡＣ上の正方形から
  　ＣＤ上の正方形をひいた
  　残りの２倍に等しい。
  　　　　　　【・・・(13)】
  • 　２×矩形(ＡＤ、ＤＢ)＝２×（正方(_ＡＣ)ー正方(_ＣＤ)）
    となっている。
    
    
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との和
  は
  　(12)により、
  　ＡＣ上の正方形の４倍に等しい。
  
  • 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×矩形(ＡＤ、ＤＢ)
    　＝４×正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
    
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　矩形ＡＤ、ＤＢの２倍との和
  は、
  　前節、(13)、
  　公理１−２（等しいものに等しいものを加える）
  により
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　ＡＣ上の正方形から
  　　ＣＤ上の正方形をひいた
  　　残りの２倍との
  　和に等しい
  
  • 　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×矩形(ＡＤ、ＤＢ)
    　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×（正方(_ＡＣ)ー正方(_ＣＤ)）
    となっている。
    
    
  ので、
  　ＡＣ上の正方形の４倍
  は、
  　前節、(12)、
  　公理１−１（同じものに等しい）
  により、
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　ＡＣ上の正方形から
  　　ＣＤ上の正方形をひいた
  　　残りの２倍との
  　和に等しい。
  
  • 　４×正方(_ＡＣ)
    　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×（正方(_ＡＣ)ー正方(_ＣＤ)）
    となっている。
    
    
  双方に
  　ＣＤ上の正方形の２倍を加える
  と、
  　公理１−２（等しいものに等しいものを加える）
  により、
  　ＡＣ上の正方形の４倍とＣＤ上の正方形の２倍との和
  は
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形と
  　ＡＣ上の正方形の２倍との
  　和に等しい。
  
  • 　４×正方(_ＡＣ)＋２×正方(_ＣＤ)
    　＝正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)＋２×正方(_ＡＣ)
    となっている。
    
    
  双方から
  　ＡＣ上の正方形の２倍をひく
  と、
  　公理１−３（等しいものから等しいものをひく）
  により、
  　ＡＣ上の正方形の２倍とＣＤ上の正方形の２倍との和
  は
  　ＡＤ上の正方形とＤＢ上の正方形との和
  に等しい。
  
  
  
  • 命題2-9は第２巻の命題によると次のようになる。

    前提	作図	推論
    定義		補(理1-5),2-1
    公準
    公理		1-1,1-2,1-3,1-5
    命題		2-4,2-5
    その他

  　
  
• 矩形という表現が命題には登場しないので、
  　三平方の定理による証明となったと思われる。
• 本質的には、
  　和の平方と差の平方との和
  のことである。
  　正方(_ＡＣ＋ＣＤ)＋正方(_ＡＣーＣＤ)
  　＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  となっている。
• 　線分ＡＢ
  に対して、
  　Ｃ；中点（ＡＢ）、
  　Ｄ；点[ＡＢ;;ＡＤ≠ＤＢ]
  をとるならば、
  　正方(_ＡＤ)＋正方(_ＤＢ)
  　＝２×（正方(_ＡＣ)＋正方(_ＣＤ)）
  のことである。
• 命題2-9は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1,1-1補
  公理		1-1,1-2,1-3,1-6,1-7
  命題	1-3補,1-10,1-11,1-30補,1-31	1-5,1-6,1-29,1-32,1-34,1-47
  その他

  
  

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