ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論
第２巻
命題２ー３（２分線分の全体と一つとによる矩形）
もし
線分が
任意に２分されるならば、
全体と一つの部分とにかこまれた矩形は
二つの部分にかこまれた矩形と
先にいわれた部分の上の正方形との
和に等しい。
線分ＡＢが
Ｃにおいて
任意に分けられたとせよ。
ＡＢ、ＢＣにかこまれた矩形は
ＡＣ、ＣＢにかこまれた矩形と
ＢＣ上の正方形との和に等しいと主張する。
ＣＢ上に
正方形ＣＤＥＢが描かれ、
- 命題１ー４６（作図.線分上に正方形）
による。
-
正方ＣＤＥＢ(_ＣＢ)
をとっている。
ＥＤが
Ｆまで延長され、
- 公準１ー２（作図.直線の延長）
による。
-
点Ｆ'[延長ＥＤ]
をとっている。
Ａを通り
ＣＤ、ＢＥのどちらかに平行に
ＡＦがひかれたとせよ。
- 命題１ー３１（作図・平行線）
による。
命題１ー３０（平行の平行）
により
どちらに平行にひかれても
他方とも平行である。
- 「どちらかに」については、
コメント（命題２ー２）を参照のこと
- ＣＤとＥＦは交わっており、
ＣＤとＡＧが平行であるように
ＡＧをひくと、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
ＥＦとＡＧは交わる。
この交点を溯ってＦとしている。
原論ではこのような推論を省略している場面が多い。
-
交点Ｆ(ＥＦ',平行線(Ａ,ＣＤ))
をとっている。
そうすれば
ＡＥはＡＤ、ＣＥの和に等しい。
- 公理１ー７（等しい）
による。
-
矩形(ＡＥ)
＝矩形(ＡＤ)＋矩形(ＣＥ)
[･･････(６)]
そして
ＡＥは
ＡＢ、ＢＣにかこまれた矩形である。
なぜなら
それは
ＡＢ、ＢＥにかこまれており、
ＢＥはＢＣに等しいから。
また
ＡＤは矩形ＡＣ、ＣＢである。
なぜなら
ＤＣはＣＢに等しいから。
そして
ＤＢ［ＣＥ］は
ＣＢ上の正方形である。
- 作図の設定である。
-
矩形(ＣＥ)＝正方(_ＣＢ)
[･･････(４)]
それゆえ
ＡＢ、ＢＣにかこまれた矩形は
ＡＣ、ＣＢにかこまれた矩形と
ＢＣ上の正方形と
の和に等しい。
よって
もし
線分が
任意に２分されるならば、
全体と一つの部分とにかこまれた矩形は
二つの部分にかこまれた矩形と
先にいわれた部分の上の正方形と
の和に等しい。
これが証明すべきことであった。
- 命題２ー１により
次のように証明される。
矩形ＡＢ、ＢＣは、
命題２ー１（任意個分割との矩形）
により
矩形ＢＣ、ＡＣとＢＣ、ＣＢの和に等しい。
-
矩形(ＡＢ、ＢＣ)＝矩形(ＢＣ、ＡＣ)＋矩形(ＢＣ、ＣＢ)
[･･････(５)]
矩形ＢＣ、ＣＢは、
定義２ー１（かこまれる）
によりＢＣ上の正方形である。
-
矩形(ＢＣ、ＣＢ)＝正方(_ＢＣ)
[･･････(６)]
よって、
矩形ＡＢ、ＢＣは
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
公理１ー１（同じものに等しい）
により
矩形ＡＣ、ＢＣとＢＣ上の正方形と
の和に等しい。
- (５)
(６)
により
矩形(ＡＢ、ＢＣ)＝矩形(ＡＣ、ＢＣ)＋正方(_ＢＣ)
となっている。
- 命題2-3は第２巻の命題によると次のようになる。
- 命題2-3は、
ＡＢ；線分、
Ｃ；点[ＡＢ]
において、
矩形(ＡＢ、ＢＣ）＝矩形(ＡＣ、ＣＢ)＋正方(_ＢＣ）
のことである。
- 命題2-3は推論用命題である。
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