ユークリッド原論をどう読むか(12)
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ユークリッド原論

第8巻
 
命題8ー18(相似な平面数と比例中項数)
構成.相似な平面数の比例中項数))
 2つの相似平面数の間には
 1つの比例中項数がある。

そして
 平面数平面数対し
 対応する
 対応する対する
 2乗の比をもつ。




 2つの相似平面数をA、B
とし、
 C、DをAの、
 E、FをBの
とせよ。


そうすれば
 相似平面数
 比例するをもつ

から、
 CがDに対するように
 EがFに対する

そこで
 A、Bの間には
 1つの比例中項数があり、
そして
 AはBに対し
 CがEに
 または
 DがFに対する
 すなわち
 対応する
 対応する対する
 2乗の比をもつ
と主張する。

そこで
 CがDに対するように
 EがFに対する

から、
 いれかえて
 CがEに対するように
 DがFに対する
      [......(1)]

そして
 Aは平面数であり、
 C、Dはそのである

から、
 DはCにかけ
 Aをつくった。
      [......(2)]

同じ理由で
 EもFにかけてBをつくった。
      [......(3)]

そこで
 DがEにかけてGをつくる
とせよ。
      [......(a)]

そうすれば
 Dは
 CにかけてAをつくり、
 EにかけてGをつくった

から、
 CがEに対するように
 AがGに対する
      [......(4)]

ところが
 CがEに対するように
 DがFに対する

それゆえ
 DがFに対するように
 AがGに対する
      [......(5)]

また
 EはDにかけてGをつくり、
 FにかけてBをつくった

から、
 DがFに対するように
 GがBに対する

ところが
 DがFに対するように
 AがGに対する
ことは証明された。

ゆえに
 AがGに対するように
 GがBに対する
      [......(6)]

したがって
 A、G、Bは順次に比例する。

よって
 A、Bの間には
 1つの比例中項数がある。

次に
 AはBに対し
 対応する
 対応する対する
 すなわち
 CがEに
 または
 DがFに対する
 2乗の比をもつ
と主張する。

 A、G、Bは順次に比例し、
 AはBに対し
 Gに対する2乗の比をもつ。

そして
 AがGに対するように
 CがEに、
 DがFに
 対する

したがって
 AはBに対し
 CがEに
 または
 DがFに対する
 2乗の比をもつ。

 これが証明すべきことであった。
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