ユークリッド原論をどう読むか（１３）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１０（単位開始順次比例で２番目が平方数・立方数でない）
（平(立)方数の比に同じなら相似な平面(立体)数）
（２乗・３乗で割り切れば割り切る）
もし
　任意個の数が
　単位から始まり順次に比例し、
　単位の次の数が平方数でない
ならば、
　単位から数えて３番目と
　１つおきのすべての数とを除いて
　他のいずれも平方数でない
であろう。

そしてもし
　単位の次が立方数でない
ならば、
　単位から数えて４番目と
　２つおきのすべての数とを除いて
　他のいずれも立方数でない
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 単位は、
  定義７ー１による。
• 順次に比例は、
  定義の補足（命題８ー１）による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 番目・おきは、
  定義の補足（命題９ー８）による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。

　単位から始まり順次に比例する
　任意個の数
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆがあり、
　単位の次の数Ａが平方数でない
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ 　前後の項の比は１：Ａ 　Ａは平方数でない となっている。

　単位から数えて３番目と
　１つおきのすべての数とを除いて
　他のいずれも平方数でない
であろうと主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
  
• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　Ｃが平方数であるとせよ。

• 　背理法の仮定である。
  
• 　数Ｇがあって、
  　Ｃ＝Ｇ^2
  となっている。
  

ところが
　Ｂも平方数である。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題９ー８（単位開始順次比例での平方数、立方数）
  による。
  
• 　数Ｈがあって
  　Ｂ＝Ｈ^2
  となっている。
  

それゆえ
　Ｂ、Ｃは
　互いに
　平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｈ^2：Ｇ^2
  　＝Ｌ^2：Ｋ^2（最小）
  となっている。
  

そして
　ＢがＣに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　命題の設定による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

ゆえに
　Ａ、Ｂは
　互いに平方数が平方数に対する比をもつ。

• 　前節、前々節
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｈ^2：Ｇ^2
  　＝Ｌ^2：Ｋ^2（最小）
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｂは相似な平面数である。

• 　前節、
  　命題８ー１１（平方数の比、比例中項）
  により
  　Ｈ^2とＧ^2の間に比例中項Ｈ×Ｇがあり、
  　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により、
  　ＡとＢの間に比例中項Ｂ／Ｇ×Ｈがはいり、
  　命題８ー２０（比例中項と相似な平面数）
  による。
  　以上の推論を振り返れば、
  　２数は、
  　その比が平方数（立方数）の比に同じ
  ならば、
  　相似な平面数（立体数）である。
  (以下、命題９ー１０の補足 （平(立)方数の比に同じなら相似な平面(立体)数）という。)
  

そして
　Ｂは平方数である。

• 　（１）による。
  
• 　数Ｈがあって、
  　Ｂ＝Ｈ^2
  となっている。
  

それゆえ
　Ａも平方数である。

• 　前節、前々節
  　命題８ー２２（順次比例と平方数）
  による。
  
• 　Ｂ：Ａ＝Ｃ：Ｂ
  　＝Ｇ^2：Ｈ^2
  　＝Ｋ^2：Ｌ^2（最小）
  となっている。
  よって、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ｈ^2はＫ^2で割り切れる
  ので、
  　ＨはＫで割り切れる。
  なぜならもし
  背理法の仮定として
  　ＨがＫで割り切れない
  なら、
  　Ｈ：Ｋ＝Ｍ：Ｎ（最小）
  とすると、
  　Ｍ、Ｎは互いに素
  となるので、
  　命題７ー２７（互いに素の２(３)乗は互いに素）
  により
  　Ｍ^2、Ｎ^2は互いに素
  となり、
  　Ｍ^2はＮ^2で割り切れない
  ので、
  　Ｈ^2はＫ^2で割り切れない
  ことになり、
  　矛盾する
  からである。
  以上をふりかえると、
  　数Ｈ、Ｋがあって、
  　Ｋ^2（Ｋ^3）がＨ^2（Ｈ^3）を割り切る
  ならば
  　ＫがＨを割り切る。
  (以下、命題９ー１０の補足 （２乗・３乗で割り切れば割り切る）という。)
  　ＢとＡの辺の比も
  　Ｇ：Ｈ＝Ｋ：Ｌ（最小）
  となっていて、
  　ＫはＨを割り切る
  ので、
  　Ａ＝（Ｈ／Ｋ×Ｌ）^2
  となる。
  
• 　前々節の
  　「したがって
  　Ａ、Ｂは相似な平面数である」
  という１文なしに、
  　命題８ー２４（３項平方数の比例の第４項）
  によって
  　Ａが平方数となる
  ことを推論することができる。
  

　これは仮定に反する。

• 　命題の設定により、
  　Ａは平方数でなかった
  ことに反する。
  

ゆえに
　Ｃは平方数でない。

• 　背理法による。

同様にして
　単位から数えて３番目と
　１つおきの数を除いて
　他のいずれも平方数でない
ことを証明しうる。

次に
　Ａが立方数でない
とせよ。

　単位から数えて４番目と
　２つおきの数を除いて
　他のいずれも立方数でない
と主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
  

　Ｄを立方数とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　数Ｇがあって
  　Ｄ＝Ｇ^3
  となっている。
  

ところが
　Ｃも立方数である。
　　　　　　[......(２)]

なぜなら
　単位から数えて４番目である
から。

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　命題９ー８（単位開始順次比例での平方数、立方数）
  による。
  
• 　数Ｈがあって、
  　Ｃ＝Ｈ^3
  となっている。
  

そして
　ＣがＤに対するように、
　ＢがＣに対する。

• 　命題の設定による。
• 　Ｃ：Ｄ＝Ｂ：Ｃ
  となっている。
  

それゆえ
　ＢはＣに対し
　立方数が立方数に対する比をもつ。

• 　前節、前々節、前々々節による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｈ^3：Ｇ^3
  となっている。
  

そして
　Ｃは立方数である。

• 　（１）による。

ゆえに
　Ｂも立方数である。

• 　前節、前々節、
  　　命題８ー２４
  による。
  
• 　数Ｋがあって、
  　Ｂ＝Ｋ^3
  となっている。
  
• 　前半と異なり、
  　後半では

そして
　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対し、

• 　命題の設定による。
• 　１：Ａ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

　単位がＡを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である

• 　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

から、
　ＡがＢを割った商も
　Ａのなかにある単位の［個］数である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ａ
  となっている。
  

したがって
　Ａは２乗して立方数Ｂをつくった。

• 　前節
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。
  

ところがもし
　ある数が２乗して立方数をつくる
ならば、
　それ自身立方数であろう。

• 　命題９ー６（２乗して立方数なら立方数）
  による。
  

それゆえ
　Ａは立方数である。

　これは仮定に反する。

• 　命題の設定に矛盾する。

ゆえに
　Ｄは立方数でない。

• 　背理法による。

同様にして
　単位から始まり
　４番目と２つおきの数と除いて
　他のいずれも立方数でない
ことを証明しうる。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１０は、
  　１,Ａ1,Ａ2,Ａ3,…；順次比例
  のとき、
  　Ａ1；平方数でない
  ならば、
  　Ａ2,Ａ4,Ａ6,…以外；平方数でない、
  　Ａ1；立方数でない
  ならば、
  　Ａ3,Ａ6,Ａ9,…以外；立方数でない
  のことである。
• 命題９ー１０の補足 （平(立)方数の比に同じなら相似な平面(立体)数）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		8-8補,8-11,8-20
  その他

• 命題９ー１０の補足 （２乗・３乗で割り切れば割り切る）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-20,7-27
  その他

• 命題９ー１０は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補
  公準
  公理		1-1
  命題	8-8補	5-11,補4(義7-16),7-20,7-27,8-11,8-20,8-22,8-24,9-6,9-8
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7),コ2(題1-16),背理法

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭