ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー３２（数は素数か素数で割り切れる）
(素因数分解の一意性)
　すべての数は
　素数であるか
または
　何らかの素数に割り切られる。

• 数は、 定義７ー２による。
• 素数は、 定義７ー１２による。
• 割り切るは、 定義５ー１の補足２による。

　Ａを数とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　数Ａ
  をとっている。

　Ａは素数であるか
または
　素数に割り切られる
と主張する。

そこで

• Ａが
  素数である場合と、
  合成数である場合とに
  分けて推論する。
  

もし
　Ａが素数である
ならば、

• 場合分け（１）である。
• 　Ａ;素数
  となっている。

　命じられたことは
　なされている
であろう。　

ところが
もし
　合成数である
ならば、

• 場合分け（２）である。
• 　Ａ;合成数
  となっている。

　何らかの素数が
　それを割り切るであろう。

• 命題７ー３１（合成数を割り切る素数の存在）
  による。
• 　素数[;;｜Ａ] が存在する。

よって
［ ２つの場合の結果から、 ］
　すべての数は
　素数であるか
または
　何らかの素数に割り切られる。

• 　Ａ;素数 or 素数｜Ａ
  のことである。

　これが証明すべきことであった。

• 　任意の数は、
  　素数の積で表現される。
  　積の順を無視すれば１通りである。
  (以下、命題７ー３２の補足 (素因数分解の一意性)という。)
  なぜなら、
  　任意の数Ｘは、
  　命題７ー３２（数は素数か素数で割り切れる）
  により、
  　素数か、素数で割り切れる数である。
  　素数
  であれば、
  　命題は成立する。
  　素数で割り切れる数
  であれば、
  　その素数Ｙ1で割り切ると
  　Ｙ１＞＝２
  により
  　商Ｑ1(Ｘ,Ｙ1)
  をとれば、
  　Ｘ;＝Ｙ1Ｑ1
  となり、
  　命題７ー１６の補足(商は小さい)
  により、
  　Ｑ1＜Ａ
  となる。
  この操作をくりかえすと、
  　命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)
  により、
  　有限回で終わり、
  　Ｘ;＝ΠＹi
  となる。
  　Ｙiを小さい順に並べ替え、
  改めて
  　Ｘ;＝ΠＹi
  とする。
  　Ｘ;＝ΠＺj
  という素数の積の別の表現があったとする。
  　ΠＹi＝ΠＺj、
  　命題７ー３０（素数は積を割り切れば一方を割り切る）
  により、
  　素数Ｙ1は１つの素数Ｚjを割り切るので、
  　Ｙ1＝Ｚj。
  　ＺjとＺ1を入れ替えて、
  　ΠＺj
  とし、
  　Ｘを(Ｙ1;＝Ｚ1)で割り切ると、
  　商Ｘ1(Ｘ,(Ｙ1;＝Ｚ1))
  　　;＝((Π_i=2〜mＹi)
  　　　　;＝(Π_j=2〜nＺj)
  となり、
  　命題７ー１６の補足(商は小さい)
  により、
  　Ｘ1＜Ｘ
  となる。
  　この操作をくりかえすと、
  　命題７ー１の補足６(数を減じるのは有限回)
  により、
  　有限回(m;＝n)で終わり、
  　Ｙi;＝Ｚi、
  　Ｘm＝１
  となることによる。
  
• 命題７ー３２は、
  　数Ａ
  について、
  　Ａ;素数 or 素数｜Ａ
  のことである。
  
• 命題７ー３２の補足 (素因数分解の一意性)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-1補6,7-16補,7-30,7-32
  その他

• 命題７ー３２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-31
  その他	コ4(題7-1)	場合分け

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